04. Решение типовых задач

Задача 1.1.

По районам региона приводятся данные за 200Х г. (табл. 1.1).

Таблица 1.6

Номер района

Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Х

Среднедневная заработная плата, руб., У

1

78

133

2

82

148

3

87

134

4

79

154

5

89

162

6

106

195

7

67

139

8

88

158

9

73

152

10

87

162

11

76

159

12

115

173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.2).

;

Таблица 1.2

Х

У

Xy

X2

Y2

YI-

1

78

133

10374

6084

17689

149

-16

11,84962

2

82

148

12136

6724

21904

152

-4

3

3

87

134

11658

7569

17956

157

-23

17,19403

4

79

154

12166

6241

23716

150

4

2,805195

5

89

162

14418

7921

26244

159

3

1,925926

6

106

195

20670

11236

38025

175

20

10,50256

7

67

139

9313

4489

19321

139

0

0,258993

8

88

158

13904

7744

24964

158

0

0,025316

9

73

152

11096

5329

23104

144

8

5,157895

10

87

162

14094

7569

26244

157

5

3,061728

11

76

159

12084

5776

25281

147

12

7,597484

12

115

173

19895

13225

29929

183

-10

5,66474

Итого

1027

1869

161808

89907

294377

69,0435

Среднее

Значение

85,6

156

13484

7492,25

24531,42

5,753625

S

13,5

17,3

S2

183

298

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; .

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 8-10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателя от нуля: .

Определим случайные ошибки Ma, mb, :

;

;

.

Тогда

; ;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

; ; ,

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т. е. A, B и Rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для A и B. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

; .

Доверительные интервалы:

;

;

;

;

;

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры A и B, находясь в указанных границах, не принимают нулевые значения, т. е. не являются статистики незначимыми и существенно отличаются от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение промежуточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит:

тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

;

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным, но неточным, т. к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза (121/62,2).

Задача 1.2.

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

- уравнение регрессии ;

- индекс корреляции ;

- остаточная дисперсия .

Требуется провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение:

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Вариация результата y

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонений, S

Дисперсия на одну степень свободы, D

Fрасч

Fтабл

A=0,05

K1=1,

K2=18

Общая

Df=n-1=19

6,316

Факторная

K1=m=1

5,116

5,116

76,7

4,41

Остаточная

K2=n-m-1=18

1,200

0,0667

;

;

;

.

В силу того, что , гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!