22. Решение типовых задач

Задача 2.1.

Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 2.5

Год	Квартал		Количество возбужденных дел,
1999	I	1	375
II	2	371
III	3	869
IV	4	1015
2000	I	5	357
II	6	471
III	7	992
IV	8	1020
2001	I	9	390
II	10	355
III	11	992
IV	12	905
2002	I	13	461
II	14	454
III	15	920
IV	16	927

Требуется:

1. Рассчитать коэффициент автокорреляции первого и второго порядка.

2. Построить коррелограмму и сделать выводы.

Решение:

1. Построим поле корреляции:

Рис. 29. Поле корреляции.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу 2.6.

Таблица 2.6

1	375	–	–	–	–	–	–
2	371	375	-328,33	-288,13	94601,72	107800,59	83018,90
3	869	371	169,67	-292,13	-49565,70	28787,91	85339,94
4	1015	869	315,67	205,87	64986,98	99647,55	42382,46
5	357	1015	-342,33	351,87	-120455,66	117189,83	123812,50
6	471	357	-228,33	-306,13	69898,66	52134,59	93715,58
7	992	471	292,67	-192,13	-56230,69	85655,73	36913,94
8	1020	992	320,67	328,87	105458,74	102829,25	108155,48
9	390	1020	-309,33	356,87	-110390,60	95685,05	127356,20
10	355	390	-344,33	-273,13	94046,85	118563,15	74600,00
11	992	355	292,67	-308,13	-90180,41	85655,73	94944,10
12	905	992	205,67	328,87	67638,69	42300,15	108155,48
13	461	905	-238,33	241,87	-57644,88	56801,19	58501,10
14	454	461	-245,33	-202,13	49588,55	60186,81	40856,54
15	920	454	220,67	-209,13	-46148,72	48695,25	43735,36
16	927	920	227,67	256,87	58481,59	51833,63	65982,20
Сумма	10499	9947	9,05	0,05	74085,16	1153766,39	1187469,73
Среднее Значение	699,33	663,13	–	–	–	–	–

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т. к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 2.7

1	2	3	4	5	6	7	8
1	375	–	–	–	–	–	–
2	371	–	–	–	–	–	–
3	869	375	145,57	-269,79	-39273,33	21190,62	72786,64
4	1015	371	291,57	-273,79	-79828,95	85013,06	74960,96
5	357	869	-366,43	224,21	-82157,27	134270,94	50270,12
6	471	1015	-252,43	370,21	-93452,11	63720,90	137055,44
7	992	357	268,57	-287,79	-77291,76	72129,84	82823,08
8	1020	471	296,57	-173,79	-51540,90	87953,76	30202,96
9	390	992	-333,43	347,21	-115770,23	111175,56	120554,78
10	355	1020	-368,43	375,21	-138238,62	135740,66	140782,54
11	992	390	268,57	-254,79	-68428,95	72129,84	64917,94
12	905	355	181,57	-289,79	-52617,17	32967,66	83978,24
13	461	992	-262,43	347,21	-91118,32	68869,50	120554,78
14	454	905	-269,43	260,21	-70108,38	72592,52	67709,24
15	920	461	196,57	-183,79	-36127,60	38639,76	33778,76
16	927	454	203,57	-190,79	-38839,12	41440,74	36400,82
Сумма	10128	9027	-0,02	-0,06	-1034792,71	1037835,43	1116776,36
Среднее значение	723,43	644,79	–	–	–	–	–

Следовательно

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 2.8

2. Коррелограмма:

Рис. 30. Коррелограмма.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

Задача 2.2.

По данным за 18 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия у (млн. руб.) от цен на сырье х1 (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда х2 (ед. продукции на 1 работника):

.

При анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в табл. 2.9.

Таблица 2.9

№	У	Х1	Х2
1	210	800	300
2	720	1000	500
3	300	1500	600
…	…	…	…

, .

Требуется:

1. По трем позициям рассчитать , , , , .

2. Рассчитать критерий Дарбина-Уотсона.

3. Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

4. Указать, пригодно ли уравнение для прогноза.

Решение:

1. определяется путем подстановки фактических значений х1 и х2 в уравнение регрессии:

;

;

.

Остатки рассчитываются по формуле: . Следовательно,

; ; ;

; ; ;

- те же значения, что и , но со сдвигом на один месяц.

Результаты вычислений оформим в виде табл. 2.10.

Таблица 2.10

№
1	200	10	-	-	-	100
2	700	20	10	10	100	400
3	350	-50	20	-70	4900	2500
…	…	…	…	…	…	…
S					40000	10500

2. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по формуле:

.

3. Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При n=18 месяцев и m=2 (число факторов) нижнее значение равно 1,05, а верхнее – 1,53. Так как фактическое значение d близко к 4, можно считать, что автокорреляция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину:

,

Что значительно меньше, чем . Это означает наличие в остатках автокорреляции.

4. Уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна, а может быть, в рядах динамики имеется общая тенденция.

Задача 2.3.

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на товар А, табл. 2.11.

Таблица 2.11.

Показатель	1995 г.	1996 г.	1997 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.
Расходы на товар А, руб.	30	35	39	44	50	53
Доход на одного члена семьи, % к 1995 г.	100	103	105	109	115	118

Требуется:

1. Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2. Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на товар А в зависимости от дохода.

3. Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходного динамического ряда.

4. Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

5. Построить линейную модель спроса на товар А, включив в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

Решение:

1. Обозначим расходы на товар А через у, а доходы одного члена семьи - через х. Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам:

, .

Расчеты можно оформить в виде таблицы 2.12.

Таблица 2.12

30	-	100	-
35	5	103	3
39	4	105	2
44	5	109	4
50	6	115	6
53	3	118	3

Значения не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х: абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.

2. Так как ряды динамики имеют общую тенденцию к росту, то для построения регрессионной модели спроса на товар А в зависимости от дохода необходимо устранить тенденцию. С этой целью модель может строиться по первым разностям, то есть , если ряды динамики характеризуются линейной тенденцией. Другой возможный путь учета тенденции при построении моделей – найти по каждому ряду уравнение тренда: и ; и отклонения от него - ; . Далее модель строится по отклонениям от тренда: . При построении эконометрических моделей чаще используется другой путь учета тенденции – включение в модель фактора времени. Иными словами, модель строится по исходным данным, но в нее в качестве самостоятельного фактора включается время, т. е. .

3. Модель имеет вид: . Для определения параметров a и b применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Применительно к нашим данным имеем

Решая эту систему, получим: и , откуда модель имеет вид

.

4. Коэффициент регрессии Руб. Он означает, что с ростом прироста душевого дохода на 1%-ный пункт расходы на товар А увеличиваются со средним ускорением, равным 0,565 руб.

5. Модель имеет вид: . Применяя метод наименьших квадратов, получим систему нормальных уравнений:

Расчеты оформим в виде табл. 2.13.

Таблица 2.13

T	У	Х	У×х	Y×t	X×t	X2	T2
1	30	100	3000	30	100	10000	1
2	35	103	3605	70	206	10609	4
3	39	105	4095	117	315	11025	9
4	44	109	4796	176	436	11881	16
5	50	115	5750	250	575	13225	25
6	53	118	6254	318	708	13924	36
21	251	650	27500	961	2340	70664	91

Система уравнений примет вид:

Решая ее, получим: ; ; .

Уравнение регрессии имеет вид: .

Параметр фиксирует силу связи у и х. Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1%-ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар А возрастает в среднем на 0,322 руб. Параметр характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

Задача 2.4.

На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты	Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь	- 1,0	Июль	3,0
Февраль	2,0	Август	1,0
Март	- 0,5	Сентябрь	2,5
Апрель	0,3	Октябрь	1,0
Май	-2,0	Ноябрь	- 3,0
Июнь	-1,1	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

,

При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени .

Требуется:

1. Определить значение сезонной компоненты за декабрь.

2. На основе построенной модели дать прогноз общего числа браков, заключенных в течение первого квартала следующего года.

Решение:

1. Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна нулю (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:

.

2. Прогнозное значение уровня временного ряда Ft в аддитивной модели есть сумма трендового значения Tt и соответствующего значения сезонной компоненты St.

Число браков, заключенных в первом квартале следующего года, есть сумма числа браков, заключенных в январе F37, в феврале F38 и в марте F39.

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи:

;

; ; .

Соответствующие значения сезонных компонент составит: - январь; - февраль; - март. Таким образом,

;

;

.

Количество браков, заключенных в первом квартале следующего года, составит: тыс., или 11420.

< Предыдущая		Следующая >