3.6. Коррекция статистических выводов при наличии сезонности. Фиктивные переменные

· 3.6. Коррекция статистических выводов при наличии сезонности. Фиктивные переменные

Приведенный ниже график показывает динамику изменения совокупного располагаемого дохода DPI И объемов продаж SALES лыжного инвентаря в США (квартальные данные; DPI — В Млрд Долларов, SALES — в Млн Долларов, в ценах 1972 г.).

Оценивание линейной модели связи указанных переменных дает следующие результаты.

Dependent Variable: SALES

Method: Least Squares

Sample: 1964:1 1973:4

Included observations: 40

Variable

Coefficient

Std. Error

T-Statistic

Prob.

C

29.97613

6.463626

4.637665

0.0000

DPI

0.108402

0.036799

2.945768

0.0055

R-squared

0.185904

Mean dependent var

48.94571

Adjusted R-squared

0.164481

S. D. dependent var

3.852032

S. E. of regression

3.521017

Akaike info criterion

5.404084

Sum squared resid

471.1074

Schwarz criterion

5.488528

Log likelihood

–106.0817

F-statistic

8.677546

Durbin-Watson stat

1.874403

Prob (F-statistic)

0.005475

Коэффициент при переменной статистически значим. Однако график стандартизованных остатков (приведенный для удобства в двух формах)

Обнаруживает явную неадекватность построенной модели имеющимся наблюдениям. Однако характер этой неадекватности таков, что он не улавливается критерием Дарбина-Уотсона: значение статистики Дарбина-Уотсона близко к . И это не удивительно: за положительными остатками с равным успехом следуют как положительные, так и отрицательные остатки, что соответствует практическому отсутствию корреляции между соседними ошибками и подтверждается диаграммой рассеяния

(Здесь — переменная, образованная остатками от подобранной модели линейной связи, а — переменная, образованная запаздывающими на один квартал значениями переменной .)

В то же время, налицо отрицательная коррелированность остатков для наблюдений, отстоящих на два квартала, и положительная — для наблюдений, отстоящих на четыре квартала:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона, критерий Бройша-Годфри «замечает» такую коррелированность: допуская коррелированность ошибок для наблюдений, разделенных двумя кварталами, получаем , что ведет к безусловному отклонению гипотезы о независимости ошибок.

Обратим теперь внимание на весьма специфическое поведение остатков. Все остатки, соответствуюшие первому и четвертому кварталам, Положительны, а все (за исключением двух) остатки, соответствующие второму и третьему кварталам, Отрицательны. Такое положение, конечно, просто отражает тот факт, что спрос на зимний спортивный инвентарь возрастает в осенне-зимний период и снижается в весенне-летний период года, т. е. имеет Сезонный характер.

Построенная нами модель Не учитывает фактор сезонности спроса и потому оказывается неадекватной. Вследствие этого, такая модель не может, в частности, использоваться для прогнозирования объема спроса в зависимости от величины совокупного располагаемого дохода.

Для коррекции моделей связи в подобных ситуациях часто привлекают искусственно построенные переменные — «Фиктивные переменные» («dummy» variables). В нашем случае в качестве такой дополнительной переменной можно взять, например, переменную , значение которой равно для первого и четвертого кварталов и равно для второго и третьего кварталов. Добавление такой переменной в качестве объясняющей позволяет учесть сезонные колебания спроса. Оценивание расширенной модели дает следующие результаты.

Dependent Variable: SALES

Variable

Coefficient

Std. Error

T-Statistic

Prob.

C

26.21787

3.152042

8.317742

0.0000

DPI

0.112653

0.017847

6.312227

0.0000

DUMMY

6.028524

0.539997

11.16399

0.0000

R-squared

0.813644

Mean dependent var

48.94571

Adjusted R-squared

0.803571

S. D. dependent var

3.852032

S. E. of regression

1.707233

Akaike info criterion

3.979663

Sum squared resid

107.8419

Schwarz criterion

4.106329

Log likelihood

-76.59327

F-statistic

80.77244

Durbin-Watson stat

1.452616

Prob (F-statistic)

0.000000

Оцененное значение коэффициента при переменной фактически означает, что спрос на лыжный инвентарь в течение первого и четвертого кварталов возрастает по сравнению со спросом в течение второго и четвертого кварталов в среднем примерно на Млн Долларов (в ценах 1972 г.). Следующий график иллюстрирует качество подобранной расширенной модели.

На сей раз значение для статистики критерия Бройша-Годфри равно против прежнего значения , так что этот критерий теперь Не отвергает гипотезу независимости случайных ошибок .

По-существу, мы подобрали две различные модели линейной связи между и :

Модель

Для весенне-летнего периода;

Модель

Для осенне-зимнего периода.

При этом, предельная склонность к закупке лыжного инвентаря в обеих моделях остается одинаковой и оценивается величиной .

Замечание. Вместо подбора отдельных моделей для осенне-зимнего и весенне-летнего периодов можно было бы заняться подбором отдельных моделей для каждого из четырех кварталов года. С этой целью в качестве дополнительных объясняющих переменных можно взять, например, переменные , принимающие значение , соответственно, в четвертом, первом и втором кварталах, и равные нулю в остальных кварталах. При оценивании такой расширенной модели для наших данных оказывается незначимым коэффициент при , что означает близость в среднем уровней продаж во втором и в третьем кварталах. Более того, оказываются близкими оценки коэффициентов при переменных и . Гипотеза о совпадении двух последних коэффициентов не отвергается, и в итоге мы возвращаемся к модели с одной фиктивной переменной , которую мы уже оценили ранее.

Использование фиктивных переменных полезно при анализе Агрегированных (объединенных) данных, полученных при объединении наблюдений, относящихся к различным полам (мужчины и женщины), к различным возрастным, языковым и социальным группам, к различным периодам времени. В таких ситуациях модели, построенные по отдельным группам, могут существенно различаться, и тогда модель, построенная по объединенным данным, не учитывает этого различия. Привлечение фиктивных переменных позволяет оценить значимость такого различия и по результатам этой оценки остановиться на модели с агрегированными данными или на модели, в которой учитывается различие параметров связи для различных групп (периодов времени).

В качестве примера, попробуем построить модель связи между переменными и , которые в 15 наблюдениях имели следующие значения:

X

Z

X

Z

X

Z

1

1.257

6

0.865

11

1.804

2

1.812

7

1.930

12

1.956

3

3.641

8

2.944

13

3.134

4

4.401

9

4.316

14

4.649

5

5.561

10

5.323

15

4.559

Этим данным соответствует приведенная ниже диаграмма рассеяния;

Прямая на диаграмме соответствует подобранной модели связи

;

- статистика для коэффициента при принимает значение , что дает и ведет к неотвержению гипотезы о равенстве этого коэффициента нулю. Регрессия переменной на переменную Признается незначимой.

График указывает на наличие Трех режимов линейной связи между переменными И , соответствующим 5 первым, 5 центральным и 5 последним наблюдениям. Коэффициент при кажется одинаковым для всех трех режимов, тогда как постоянные различаются.

В то же время, график остатков от подобранной модели связи явно указывает на неправильную спецификацию модели:

Чтобы учесть обнаруженное по графику остатков наличие трех режимов, привлечем в качестве дополнительных объясняющих переменных две фиктивные переменные: переменную , равную в Пяти Центральных наблюдениях и равную в остальных наблюдениях, а также переменную , равную в Пяти последних наблюдениях и равную в остальных наблюдениях. Оценивание расширенной модели с участием этих дополнительных объясняющих переменных дает следующий результат:

Variable

Coefficient

Std. Error

T-Statistic

Prob.

C

0.264368

0.274073

0.964591

0.3555

X

1.023398

0.070765

14.46185

0.0000

D2

-5.375960

0.430449

-12.48920

0.0000

D3

-10.34806

0.748910

-13.81749

0.0000

R-squared

0.950286

Mean dependent var

3.210213

Durbin-Watson stat

2.205754

Prob (F-statistic)

0.000000

На этот раз регрессия оказывается не только Статистически значимой, но и имеет очень высокую значимость; то же относится и к коэффициентам при переменных, и . Высокая значимость двух последних коэффициентов подтверждает Значимое отличие констант в моделях линейной связи между переменными И .

В заключение обратимся опять к примеру, рассмотренному в параграфе 3.3. Мы обнаружили там, что модель линейной связи

Оказалась неудовлетворительной, поскольку анализ остатков от оцененной модели выявил гетероскедастичность и автокоррелированность ошибок и отличие распределения ошибок от нормального. Приведенные там график зависимости стандартизованных остатков от номера наблюдений и его вариант в виде зависимости от года наблюдения указывают на явную разницу в поведении остатков в первой части периода наблюдений (до 1972 года) и во второй его части (1973-1985 годы). Такое различие в поведении остатков свидетельствует о том, что в 1973 году произошел структурный сдвиг в экономической ситуации, связанный с мировым топливо-энергетическим кризисом, который изменил характер связи между рассматриваемыми макроэкономическими факторами. Последнее могло, например, выразиться в изменении значений параметров при переходе ко второй части периода наблюдений. Возможность такого изменения учитывает расширенная модель

Здесь

- фиктивная переменная, равная для (что соответствует периоду с 1959 по 1972 год) и равная для (что соответствует периоду с 1973 по 1985 год),

- фиктивная переменная, равная для и равная для ,

- переменная, равная для и равная для ,

- переменная, равная для и равная для ,

- переменная, равная для и равная для ,

- переменная, равная для и равная для .

Заметим, что при этом

В рамках расширенной модели проверим гипотезу

Используя -критерий. Значению -статистики соответствует -значение , так что гипотеза отвергается, и это говорит об изменении хотя бы одного из параметров при переходе ко второй части периода наблюдений. Поскольку оценки параметров и статистически незначимы (им соответствуют -значения и ), проверим гипотезу о равенстве нулю обоих этих параметров. Получаемое -значение означает, что последняя гипотеза не отвергается, так что допуская изменение параметров модели при переходе ко второй части периода наблюдений, можно вообще отказаться от включения в модель переменной и ограничиться моделью

Оценивание этой модели дает следующие результаты: ,

Гипотеза здесь отвергается , как и гипотеза , так что структурный сдвиг затрагивает и постоянную и коэффициент при .

Значение статистики Дарбина-Уотсона равно и не выявляет автокоррелированности ошибок. К тому же результату приводит и применение критерия Бройша-Годфри с . Критерий Уайта дает, не выявляя гетероскедастичности, а критерий Жарка-Бера дает , не выявляя существенных отклонений распределения ошибок от нормального.

Вспомним, однако, про критерий Голдфелда-Квандта. Опять выделяя периоды с 1960 по 1969 год и с 1976 по 1985 год, получаем значение -статистики , соответствующее , так что на сей раз и этот критерий не обнаруживает существенной гетероскедастичности.

Тем самым, мы имеем основания принять в качестве возможной модели наблюдений, объясняющей изменения объема совокупного потребления на периоде с 1959 по 1985 год, оцененную модель

Эту модель можно также записать в виде

Соответственно последней форме записи такая модель называется Двухфазной линейной регрессией (Или Линейной моделью с переключением). Заметим, наконец, что допустив возможность изменения постоянной и коэффициента при при переходе ко второй части периода наблюдений, мы можем допустить при этом и изменение дисперсии ошибок, т. е. полагать, что для и для . Оценки для и в этом случае равны, соответственно, и .


Яндекс.Метрика