1.12. Линейные модели с несколькими . объясняющими переменными

Рассмотрим статистические данные о потреблении текстиля (текстильных изделий) в Голландии в период между двумя мировыми войнами с 1923 по 1939 годы. В приведенной ниже таблице TРеальное потребление текстиля на душу населения, DPIРеальный располагаемый доход на душу населения, P — Относительная цена текстиля. Все показатели выражены в индексной форме, в процентах к 1925 году.

Год

T

DPI

P

Год

T

DPI

P

1923

99.2

96.7

101.0

1932

153.6

105.3

65.4

1924

99.0

98.1

100.1

1933

158.5

101.7

61.3

1925

100.0

100.0

100.0

1934

140.6

95.4

62.5

1926

111.6

104.9

90.6

1935

136.2

96.4

63.6

1927

122.2

104.9

86.5

1936

168.0

97.6

52.6

1928

117.6

109.5

89.7

1937

154.3

102.4

59.7

1929

121.1

110.8

90.6

1938

149.0

101.6

59.5

1930

136.0

112.3

82.8

1939

165.5

103.8

61.3

1931

154.2

109.3

70.1

Для объяснения изменчивости потребления текстиля в указанном периоде мы можем привлечь в качестве объясняющей переменной как располагаемый доход DPI, так и относительную цену на текстильные изделия P. Если исходить из предположения о Постоянстве эластичностей потребления текстиля по доходу и цене, то тогда следует подбирать линейные модели Для логарифмов индексов, а не для самих индексов. Подбор таких моделей методом наименьших квадратов приводит к следующим результатам (использовались десятичные логарифмы):

Вторая модель, несомненно, лучше описывает наблюдаемую динамику потребления текстиля. Однако, естественно возникает вопрос о том, нельзя ли для объяснения изменчивости переменной Т Использовать Одновременно и располагаемый доход и относительную цену текстиля, улучшит ли это объяснение изменчивости потребления текстиля.

Чтобы привлечь для объяснения изменчивости потребления текстиля Обе Переменные DPI И T, мы рассматриваем Модель линейной связи логарифмов этих величин

И соответствующую ей Модель наблюдений

Оценки параметров можно опять находить Методом наименьших квадратов, путем минимизации по всем возможным значениям суммы квадратов

Минимум этой суммы достигается на некотором наборе так что

Это минимальное значение мы опять обозначаем

И называем остаточной суммой квадратов.

Коэффициент детерминации Определяется, как и в модели связи между двумя переменными:

Здесь

Где

При этом,

Где

Так что

(и опять, разложение справедливо Только при включении постоянной составляющей в правую часть соотношения, определяющего линейную модель связи). При этом также

Т. е. коффициент детерминации Равен квадрату (обычного) выборочного коэффициента корреляции между переменными и

Разности

Называются Остатками.

По поводу получения явных выражений для оценок наименьших квадратов мы поговорим несколько позднее, а сейчас просто приведем результаты оценивания для нашего примера:

Мы видим, что в результате привлечения для объяснения изменчивости потребления текстиля Сразу двух показателей и произошло заметное Увеличение коэффициента детерминации по сравнению с лучшей из двух моделей, использовавших только один показатель — от значения до значения .

Коэффициент в подобранной модели связи интерпретируется здесь как Эластичность потребления текстиля По доходу При неизменном значении относительной цены на текстиль, а коэффициент — как Эластичность потребления текстиля По относительным ценам При неизменном уровне дохода. Такие значения коэффициентов говорят в пользу того, что потребление текстиля Эластично по доходам и Неэластично по ценам. Вопрос о том, в какой степени можно доверять подобным заключениям, мы рассмотрим далее в контексте Вероятностных моделей.


Яндекс.Метрика