1.10. Нелинейная связь между переменными

Разумеется, связь между конкретными экономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.

Например, если мы рассматриваем зависимость от располагаемого дохода Не всех Затрат на личное потребление, а лишь затрат на некоторый Продукт питания (или группу продуктов питания), например, на куриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функция связи

Скорее всего, должна Замедлять свой рост при возрастании , Так что возможный график этой функции имеет вид

В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого, в рассмотрение вводят понятие Предельной (Marginal) Склонности к потреблению (MPC), которая для заданной величины Располагаемого дохода определяется формулой

Иначе говоря,

Замедление скорости роста функции соответствует Убыванию С возрастанием . Уточняя предположения о поведении , Можно получить ту или иную форму связи между переменными и .

Среди прочих возможных форм связи между и отметим Степенную связь

В которой . Для такой связи

Так что предельная склонность к потреблению Монотонно убывает с ростом .

Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть Логарифмы уровней по какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).

Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем соотношение

Или, обозначая

Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений

Которую мы уже умеем оценивать.

Заметим, что коэффициент в последних выражениях есть не что иное как

Эта величина не зависит от выбора основания логарифмов, так что

Где используются Натуральные логарифмы.

Вообще, если мы имеем связь между какими-то переменными экономическими факторами И в виде

То мы определяем функцию

Как Предельную склонность Y по отношению к X.

В экономической теории существенную роль играет Функция эластичности, определяемая как предел

Отношения Процентного изменения к Процентному изменению , когда последнее Стремится к нулю. Правую часть последнего соотношения можно записать в виде

Заметим также, что

Так что

Значение равно угловому коэффициенту касательной к графику функции при , тогда как значение равно угловому коэффициенту касательной к графику зависимости от при . Как следствие, условие постоянства , т. е. , Означает Линейную связь между уровнями факторов

А условие постоянства эластичности означает Линейную связь между логарифмами уровней

Соответствующую степенной связи между уровнями

Выражающей степенное возрастание (при ) или убывание (при ) уровней фактора при возрастании уровней фактора .

Заметим, что если , то эту постоянную можно трактовать как Процентное изменение уровня фактора При изменении фактора На 1%.

Отметим также, что в модели функция эластичности имеет вид

И при возрастает от до с возрастанием значений От до . Если , то . При функция эластичности убывает от до , когда изменяется от до .

К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.

Так, если — объем плановых инвестиций, а — Норма процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме

И имет графическое представление

Заменой переменной приводим указанную связь к линейной форме В этой модели эластичность По отрицательна и Меньше единицы по абсолютной величине:

(«объем плановых инвестиций Неэластичен по отношению к норме процента»).

В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению Продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшение С возрастанием , Все же Не всегда удовлетворительна, поскольку Эластичность в такой модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, скорее более подходящей будет модель связи с Убывающей (в конечном счете) Эластичностью. Такого рода связь между факторами и может иметь вид

(См. следующий график, построенный при A = 5, B = 10.)

Действительно,

Однако, здесь возникают проблемы с Отрицательными значениями при малых значениях .

Последнего недостатка нет в модели

Т. е.

(График построен при значениях A =0.1, B =1.) Здесь

(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу).

Обе последние модели сводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратным величинам.

Замечание

Если исследователь принимает модель наблюдений

То тем самым, он соглашается тем, что

Или

Т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок В нелинейное уравнение для .

В то же время, не исключено, что по существу дела модель должна иметь вид

Т. е. имеет Аддитивные ошибки. В последнем случае взятие логарифмов от обеих частей Не приводит к линейной модели наблюдений. В такой ситуации оценки наименьших квадратов параметров и приходится получать Итерационными методами, в процессе реализации которых производится Последовательное приближение к минимуму суммы квадратов

< Предыдущая		Следующая >