Глава 09. Функции

Понятие «функции» является одним из основополагающих в математике. В дан­ном случае подразумеваются прежде всего функции, отображающие одно конеч­ное множество объектов в другое конечное множество.

Определения

Пусть F — отношение из А В В, Такое что

" A (A, B) F & (A, С) Î F B = С.

Такое свойство отношения называется Однозначностью, Или Функциональностью, А само отношение называется Функцией (или Отображением) из А В В И обозначается следующим образом:

или

Если F : А ® В, То обычно используется Префиксная Форма записи:

B = F(A) Û (A, B) Î F

Если B = F(А), то А называют Аргументом, А B — значением Функции.

Инъекция, сюръекция и биекция

Пусть F : А ® В. Тогда функция F называется:

Инъективной, Если B = f(A1) & b = f(A2) a1 = a2,

Сюрьективной, Если " b Î B $ а Î A B = F(А);

Биективной, Если она инъективная и сюръективная.

ТЕОРЕМА Если F : А ® В — тотальная биекция (Fа = А), то отношение F-1 В´А (обратная функция) является биекцией.

Определения

Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением Эквивалентности. Обычно отношение эквивалентности обозначают знаком º.

Пример

Отношения равенства чисел и множеств являются отношениями эквивалентно­сти. Отношение равномощности множеств также является отношением эквива­лентности.

Антисимметричное транзитивное отношение называется отношением Порядка. Отношение порядка может быть рефлексивным, и тогда оно называется отноше­нием Нестрогого порядка. Отношение порядка может быть антирефлексивным, и тогда оно называется отношением Строгого порядка. Отношение порядка мо­жет быть полным (линейным), и тогда оно называется отношением Полного, Или Линейного порядка. Отношение порядка может не обладать свойством полноты (линейности), и тогда оно называется отношением Частичного порядка.

Обычно отношение строгого порядка (полного или частичного) обозначается знаком <, а отношение нестрогого порядка — знаком <. Отношение порядка в общем случае обозначается знаком .

Пример

Отношение < на множестве чисел является отношением строгого полного поряд­ка. Отношение < на множестве чисел является отношением нестрогого полного порядка. Отношение Ì на булеане 2М является отношением нестрогого частич­ного порядка.

Множество, на котором определено отношение частичного порядка, называется Частично упорядоченным. Множество, на котором определено отношение полного порядка, называется Вполне упорядоченным.

Пример

Множество чисел упорядочено линейно, а булеан упорядочен частично.

Упражнения

1. Даны множества A={0, 5, 6, 8, 9, 12} и B={1, 5, 6, 7, 8, 12}. Определить объединение, пересечение и разность множеств A и B.

2. Даны множества A={0, 5, 6} и B={1, 5, 6}. Определить декартово произведение множеств A и B.

3. Даны множества A={0, 5, 6} и B={1, 5, 6}. Найти предикат PÍA´B : A³B, AÎA, BÎB.

4. Показать, что предикат P={(0, 3), (1, 5), (3, 8), (3, 15)} не является отображением. Определить свойства предиката P. Найти обратное отношение, дополнение отношения, тождественное отношение и универсальное отношение предиката P.

5. Найти область определения и область значения отображения F={(0, 3), (1, 5), (3, 8), (5, 15)}.

6. Доказать, что |А È В| = |А| + |B| - |А Ç В|.

7. Доказать, что A È В = (А Ç В) È (А Ç В) (А Ç В).

< Предыдущая		Следующая >