7.3. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты

Пусть правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) имеет вид

,

Где – многочлен степени , то есть

,

А – некоторое число. Тогда уравнение (7.1) примет вид

. (7.6)

Положим , где – новая неизвестная функция. Обозначим левую часть уравнения (7.6) через , а левую часть соответствующего ему характеристического уравнения – через . Тогда по формуле (3.8) линейного дифференциального оператора для произведения функций получим

.

В силу определения линейного дифференциального оператора (3.4) имеем:

, , , …,

, .

Следовательно,

.

Поэтому, подставляя в уравнение (7.6), получим

.

Сокращая это равенство на , имеем

. (7.7)

Получено неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида (7.2) с многочленом в правой части, которое рассмотрено в предыдущем подразделе. При этом возможны два случая.

В первом случае предположим, , то есть значение не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение уравнения (7.7) ищется в виде (7.3)

.

Следовательно, частное решение исходного уравнения (7.6) нужно искать в виде

. (7.8)

Во втором случае пусть , , , …, , но , то есть значение является -кратным корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение уравнения (7.7) ищется в виде (7.5)

.

Частное решение исходного уравнения (7.6) нужно искать в виде

. (7.9)

Можно условно считать, что в первом случае будет и из формулы (7.9) получается формула (7.8) как частный случай. То есть, можно условно считать первый случай частным случаем второго. В то же время, формулы (7.3) и (7.5) предыдущего подраздела теперь вытекают из формул (7.8) и (7.9) данного подраздела как частный случай при .

Если в уравнении (7.1) правая часть есть сумма нескольких слагаемых вида

,

То можно для каждого слагаемого найти соответствующее частное решение, а затем на основании принципа суперпозиции сложить их.

Пример 7.3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет корни , . Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

В данном случае правая часть исходного уравнения имеет вид

.

Поскольку число не совпадает ни с , ни с , то частное решение ищем в виде

,

То есть

.

Для такого решения имеем:

, .

Подставляя , и в исходное уравнение и сокращая его на , получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и , имеем:

Отсюда , . Итак, частное решение

.

Складывая и , получим общее решение исходного уравнения

.

Пример 7.4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет корни , . Общее решение однородного уравнения

.

Правая часть исходного уравнения имеет в данном случае вид

,

Где

, .

Значит

,

Где

, .

Итак, полагаем

.

Дифференцируя эту функцию, имеем:

,

,

.

Подставляя , , и в исходное уравнение, получим

.

После упрощения имеем

.

Приравнивая коэффициенты, получим:

Отсюда , , . Найдено частное решение

.

Общее решение исходного уравнения

.

< Предыдущая		Следующая >