7.2. Уравнения с правой частью в виде полинома

Пусть правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) имеет вид

Где – многочлен степени , то есть

Тогда уравнение (7.1) примет вид

. (7.2)

Рассмотрим два случая.

В первом случае предположим, что в уравнении (7.1) . Тогда частное решение уравнения (7.2) можно искать в виде

, (7.3)

Где – некоторый многочлен степени . Действительно, в этом случае, положим

Где – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя это равенство, получим:

, … .

Подставляя эти производные в уравнение (7.2) и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях полученного равенства при одинаковых степенях переменной – , , , …, будем иметь:

Из первого уравнения этой системы найдем , из второго – , из третьего – и так далее. Поскольку коэффициент при каждой очередной неизвестной равен , а , то числа , , , …, из этой системы могут быть найдены и при том единственным образом.

Пример 7.1. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет корни , . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть исходного уравнения имеет в данном случае вид

Поскольку , то частное решение ищем в виде

То есть

Для такого решения имеем:

, , .

Подставляя , , и в исходное уравнение, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , и , имеем:

Отсюда

, , .

Итак, частное решение

Следовательно, общее решение исходного уравнения

Во втором случае пусть и при этом , , …, , но . Тогда уравнение (7.1) примет вид

. (7.4)

Это дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка. Положим , где – новая неизвестная функция. Получим для нее уравнение

Поскольку , то мы пришли к первому случаю. Поэтому частное решение такого уравнения ищем в виде

Где – некоторый многочлен степени . Если его коэффициенты уже найдены, то для частного решения уравнения (7.4) имеем

Интегрируя это равенство раз подряд, получим

Здесь , , …, – некоторые определенные числа, а , , …, –произвольные постоянные. Поскольку мы ищем произвольное частное решение уравнения (7.4), то можно положить , и тогда получим

Итак, в этом случае

, (7.5)

Где – некоторый многочлен степени .

Примечание. Из дифференциального уравнения (7.4) следует, что характеристическое уравнение для второго случая имеет вид

Отсюда следует, что корень этого уравнения имеет кратность . Именно в этом случае равенство (7.5) отличается от (7.3) появлением справа сомножителя в частном решении. Первый случай может рассматриваться как частный случай второго случая при . Тогда формула (7.5) превращается в (7.3).