4.4. Понижение порядка однородного линейного уравнения
Практическое нахождение фундаментальной системы решений однородного линейного дифференциального уравнения (4.2), а значит и общего решения, иногда облегчает следующая теорема.
Теорема. Если известно одно частное решение Однородного линейного дифференциального уравнения (4.2), то порядок этого уравнения может быть понижен на единицу.
Доказательство. Пусть 
– решение дифференциального уравнения (4.2). Положим 
, где 
– новая неизвестная функция. Тогда формула (3.8) для линейного дифференциального оператора произведения двух функций дает
.
Поскольку 
, то
.
Поэтому однородное линейное дифференциальное уравнение (4.2) запишется так:
.
Полагая 
, получим
.
Таким образом, получено дифференциальное уравнение порядка 
.
Использование этой теоремы наиболее наглядно для уравнений второго порядка.
Рассмотрим уравнение второго порядка
. (4.4)
Пусть 
– известное частное решение этого уравнения. Положим . Тогда
, 
.
Подстановка в уравнение (4.4) дает
,
То есть
.
А так как
,
То
. (4.5)
Полагая , приходим к уравнению
. (4.6)
Решая это уравнение, имеем:
,
.
Отсюда
,
То есть
.
Это общее решение уравнения (4.6). Следовательно, общее решение уравнения (4.5) имеет вид
.
Можно положить 
, 
. Тогда получим решение
.
Таким образом, функция
(4.7)
Является одним из решений уравнения (4.4).
Предположим, что решения 
и 
линейно зависимы. Тогда
,
Откуда
.
Между тем из (4.7) следует, что
.
Поэтому и линейно независимы, а, значит, общее решение уравнения (4.4) дается формулой
,
Где 
и 
– произвольные постоянные.
Пример 4.1. Возьмем уравнение
.
Легко видеть, что 
является решением этого уравнения. Приведем уравнение к виду (4.4)
.
Второе частное решение найдем по формуле (4.7):
,
.
Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Примечание. Понизить порядок однородного линейного дифференциального уравнения (4.2) можно и на основании формулы Остроградского-Лиувилля
,
Где 
– определитель Вронского для фундаментальной системы решений уравнения (4.2), 
– некоторое значение переменной 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
