3.1.5. Свойства пределов и непрерывных функций

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций, доказанные в первой части курса, а именно:

1) Если существуют

То существуют и

2) Если

И для любого I Существуют пределы

И существует

То существует и предел сложной функции

Координаты точки Р0.

3) Если функции F(M) И G(M) непрерывны в точке М0, то в этой точке непрерывны и функции F(M) + g(M), Kf(M), F(M)·G(M), F(M)/G(M) (если G(M0) не равно нулю).

4) Если функции

Непрерывны в точке

А функция

Непрерывна в точке

То сложная функция

Непрерывна в точке Р0.

5) Функция

Непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения.

6) Если функция

Непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения А и В, то она принимает в области D И любое промежуточное значение, лежащее между А и В.

7) Если функция

Непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения разных знаков, то найдется по крайней мере одна точка из области D, в которой F = 0.