logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Дифференциальное исчисление 2.7.4. Примеры решения задач по теме «Выпуклость. Асимптоты»

2.7.4. Примеры решения задач по теме «Выпуклость. Асимптоты»

Задача 1.

Найти интервалы выпуклости функции

Указание

Функция выпукла при условии

Решение

Область определения функции:

Ответ:

Задача 2.

Найти интервалы вогнутости функции

Указание

Границами интервалов выпуклости и вогнутости могут быть не только точки, в которых вторая производная равна нулю, но и точки, в которых она не существует.

Решение

Область определения функции:

Представим вторую производную в виде:

И исследуем знак полученного выражения. Корень знаменателя: Х = 2. Найдем корень числителя.

Знак второй производной:

Рис. 8

Следовательно, интервалы вогнутости:

Ответ:

Задача 3.

Найти точки перегиба функции

Указание

В точках перегиба вторая производная меняет знак, то есть требуется найти точки, в которых У’’ = 0 или не существует.

Решение

Область определения функции:

Проверим, меняется ли знак второй производной в найденных точках.

Рис. 9

Значит, Х = +1 – точки перегиба.

Ответ: Х = +1.

Задача 4.

При каких значениях А и B точка (-2,0) служит точкой перегиба линии

Указание

Для определения А и B требуется решить систему

Решение

Для того чтобы (-2,0) была точкой перегиба, нужно, чтобы Y’’(-2)=0.

При этом точка (-2,0) лежит на кривой, то есть У(-2)=0. Подставим в это равенство B = 6A:

Ответ: А = 1, B = 6.

Задача 5.

Сколько асимптот имеет график функции

Указание

График имеет вертикальные асимптоты, если

Условие наличия горизонтальной асимптоты – конечный предел

Если этот предел бесконечен, функция может иметь наклонную асимптоту при условии, что

Решение

Исследуем функцию на наличие асимптот разных видов.

1) х = +1 – точки разрыва 2-го рода, поэтому прямые Х = +1 – горизонтальные асимптоты графика.

Следовательно, прямая У = 2 – горизонтальная асимптота графика на обоих концах оси Ох. При этом наклонных асимптот у функции быть не может.

Итак, график имеет 3 асимптоты (две вертикальных и одну горизонтальную).

Ответ: 3.

Задача 6.

Асимптоты какого вида имеет график функции

Указание

График имеет вертикальные асимптоты, если

Условие наличия горизонтальной асимптоты – конечный предел

Если этот предел бесконечен, функция может иметь наклонную асимптоту при условии, что

Решение

1)Точка разрыва функции: Х = 0. При этом

Если хотя бы один из односторонних пределов в данной точке бесконечен, через точку проходит вертикальная асимптота. Значит, Х = 0 – вертикальная асимптота графика.

Следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Значит, прямая У = х + 3 – наклонная асимптота графика.

Ответ: график имеет вертикальную и наклонную асимптоту.

 
Яндекс.Метрика
Наверх