2.7.1. Выпуклость. Асимптоты. Общая схема исследования функции |
Рис. 1 Например, кривая, изображенная на рисунке, выпукла на интервале (ВС) и вогнута на интервале (АВ). Теорема 1. Если F''(X) < 0 во всех точках интервала (Ab), то кривая Y = F(X) выпукла на этом интервале. Если F’’(X) > 0 во всех точках интервала (Ab), то кривая Y = F(X) вогнута на этом интервале. Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть F’’(X) < 0 на (Ab). Выберем на интервале (Ab) произвольную точку Х = х0 и докажем, что все точки кривой на этом интервале лежат ниже проведенной в точке с Абсциссой Х0 касательной, то есть ордината любой точки кривой на рассматриваемом интервале меньше ординаты касательной. Рис. 2 Уравнение кривой имеет вид Y = F(X), а уравнение касательной при Х = х0: Тогда Применив теорему Лагранжа, получим: где С лежит между Х и Х0. Применим к первому множителю правой части полученного равенства еще раз теорему Лагранжа: (здесь С1 – между Х0 и С). Пусть X > X0. Рис. 3 Тогда Поэтому Если же X < X0, то Рис. 4 Но при этом по-прежнему Таким образом, любая точка кривой на данном интервале лежит ниже касательной в точке с абсциссой Х0. Следовательно, кривая является выпуклой. Второе утверждение теоремы доказывается аналогичным образом.
Замечание. Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую – ниже. Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Если в точке X0 Перегиба кривой, являющейся графиком функции Y = F(X), существует вторая производная F’’(X), то F’’(X0) = 0. Доказательство. Так как при х = х0 По формуле Тейлора получаем: Если бы Теорема 3 ( достаточное условие точек перегиба). Если функция Y = F(X) дифференцируема в точке Х0 , дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и F’’(X) меняет знак при Х = х0 , то Х0 – точка перегиба. Доказательство. В теореме 1 показано, что знак разности Замечание. Можно доказать, что если в условиях теоремы 5 из лекции 10 критическая точка не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба. Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции Таким образом, график функции является выпуклым при х < 2, вогнутым при Х > 2, а Х = 2 – точка его перегиба.
|