2.7.1. Выпуклость. Асимптоты. Общая схема исследования функции

Рис. 1

Например, кривая, изображенная на рисунке, выпукла на интервале (ВС) и вогнута на интервале (АВ).

Теорема 1. Если F''(X) < 0 во всех точках интервала (Ab), то кривая Y = F(X) выпукла на этом интервале. Если F’’(X) > 0 во всех точках интервала (Ab), то кривая Y = F(X) вогнута на этом интервале.

Доказательство.

Докажем первое утверждение теоремы. Пусть F’’(X) < 0 на (Ab).

Выберем на интервале (Ab) произвольную точку Х = х0 и докажем, что все точки кривой на этом интервале лежат ниже проведенной в точке с

Абсциссой Х0 касательной, то есть ордината любой точки кривой на рассматриваемом интервале меньше ординаты касательной.

Рис. 2

Уравнение кривой имеет вид Y = F(X), а уравнение касательной при Х = х0:

Тогда

Применив теорему Лагранжа, получим:

где С лежит между Х и Х0. Применим к первому множителю правой части полученного равенства еще раз теорему Лагранжа:

(здесь С1 – между Х0 и С). Пусть X > X0.

Рис. 3

Тогда

Поэтому

Если же X < X0, то

Рис. 4

Но при этом по-прежнему

Таким образом, любая точка кривой на данном интервале лежит ниже касательной в точке с абсциссой Х0. Следовательно, кривая является выпуклой.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогичным образом.

Замечание. Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую – ниже.

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Если в точке X0 Перегиба кривой, являющейся графиком функции Y = F(X), существует вторая производная F’’(X), то F’’(X0) = 0.

Доказательство.

Так как при х = х0

По формуле Тейлора получаем:

Если бы , разность сохраняла бы постоянный знак в некоторой окрестности точки Х0 , в то время как в точке перегиба эта разность должна менять знак. Следовательно, F’’(X0) = 0.

Теорема 3 ( достаточное условие точек перегиба). Если функция Y = F(X) дифференцируема в точке Х0 , дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и F’’(X) меняет знак при Х = х0 , то Х0 – точка перегиба.

Доказательство.

В теореме 1 показано, что знак разности определяется знаком F’’(C1), так как (C – X0)(X – X0) > 0 по обе стороны точки Х0. Следовательно, меняет знак при Х = х0, то есть Х0 – точка перегиба.

Замечание. Можно доказать, что если в условиях теоремы 5 из лекции 10 критическая точка не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции

Таким образом, график функции является выпуклым при х < 2, вогнутым при Х > 2, а Х = 2 – точка его перегиба.