2.6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке

Пусть функция Y = F(X) дифференцируема на отрезке [Ab]. Тогда она непрерывна на нем, и по свойству функции, непрерывной на отрезке, достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Если F(X) имеет на [Ab] конечное число критических точек, то ее наибольшее значение будет либо одним из ее максимумов (а именно, наибольшим максимумом), либо будет достигаться в одной из конечных точек отрезка. То же можно сказать и о наименьшем значении. Из сказанного следует, что поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке можно проводить по следующей схеме:

1) найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;

2) вычислить значения функции в точках А и B, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции Y = X³ + 3X² - 9X –15

На отрезке [-4, 4]. Y’ = 3X² + 6X – 9 = 0 при Х = -3 и Х =1 . При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при Х = -4, Х = -3, Х = 1 и Х =4.

Х	-4	-3	1	4
У	5	12	-20	61

Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке равно 61 и принимается на его правой границе, а наименьшее равно –20 и достигается в точке минимума внутри отрезка.

< Предыдущая		Следующая >