2.5.4. Примеры решения задач по теме «Формула Тейлора»

Задача 1.

Разложить многочлен

По степеням двучлена Х + 3.

1)

2)

3)

4)

5)!

Указание

Для вычисления коэффициентов разложения примените формулу Тейлора:

Решение

Вычислим коэффициенты многочлена Тейлора:

Следовательно, разложение данного многочлена по степеням (Х + 3) имеет вид:

Задача 2.

Разложить функцию

По степеням Х, пользуясь формулой Тейлора.

Указание

Вычислите А0 – А6 по формуле

Решение

В результате получаем:

Ответ:

Задача 3.

Получить многочлен Тейлора 2-й степени для функции

Указание

Требуется найти

Решение

Следовательно, arctg X = X + O(X2).

Ответ: Х.

Задача 4.

Написать многочлен Тейлора П-го порядка для функции

Указание

Для решения задачи требуется найти общий вид производной П-го порядка от данной функции.

Решение

Найдем подряд производные нескольких порядков от данной функции, а затем попробуем получить общий вид Y(П) (1):

Тогда коэффициенты Тейлора равны:

Следовательно,

Ответ:

Задача 5.

Написать многочлен Тейлора 2П-го порядка для функции

Указание

Представьте функцию в виде

И используйте стандартное разложение:

Решение

Если обозначить cos2X = T, то

Тогда

Ответ:

Задача 6.

Вычислить приближенно

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ: 0,716.