logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Дифференциальное исчисление 2.5.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций

2.5.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций

Найдем разложения по формуле Тейлора при А = 0 (точнее, по формуле Маклорена) функций Y = eX, Y = Sin X, Y = Cos X, Y = Ln(1 + X), Y = (1 + X)M.

1) F(X) = ех.

F(X) = F ′(X) = … = F (N)(X) = Ex, следовательно, F(0) = F ′(0) = … = F(N)(0) = 1. Подставляя эти результаты в формулу Маклорена, получим

Отметим, что для любого Х

2) F(X) = Sin X.

Разложение по формуле Маклорена имеет вид:

В этом случае, как и в предыдущем, при всех значениях Х

Можно предложить еще один вариант этой формулы:

3) F(x) = Cos X.

Таким же образом, как и для синуса, можно получить разложение по формуле Тейлора:

4) F(X) = Ln(1 + X). Тогда

Следовательно,

5) F(X) = (1 + X)M. При этом F (N)(X) = M(M - 1)…(MN + 1)(1 + X) M-N,

F (N)(0) = M(M – 1)…(MN +1). Тогда

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа Е, вычислив значение многочлена Тейлора при N=8:

При этом

 
Яндекс.Метрика
Наверх