2.5.1. Формула Тейлора

Рассмотрим функцию Y=F(X), имеющую в окрестности точки Х=а все производные до порядка (N+1) включительно, и поставим задачу: найти многочлен Y=Pn(X) Степени не выше N, для которого его значение в точке А, а также значения его производных по N-й порядок равны значениям при X=A выбранной функции и ее производных соответствующего порядка:

Пусть искомый многочлен имеет вид:

Pn(x)=C0+C1(x-a)+C2(x-a)²+…+Cn(x-a)n.

При этом

Тогда

Из формул (21.3) можно выразить коэффициенты СI Через значения производных данной функции в точке А.

Произведение последовательных натуральных чисел 1∙2∙3∙…∙(N-1)N называется Факториалом числа N и обозначается N! = 1∙2∙3∙…∙(N-1)N .

Дополнительно вводится 0!=1.

Используя это обозначение, получим:

Таким образом, искомый многочлен имеет вид:

Обозначим через Rn(X) разность значений данной функции F(X) и построенного многочлена Pn(X): Rn(X) = F(X) – Pn(X), откуда F(X) = Pn(X) + Rn(X) или

Полученное представление функции называется Формулой Тейлора, а Rn(X) называется Остаточным членом формулы Тейлора. Для тех значений Х, для которых Rn(X) мало, многочлен Pn(X) дает приближенное представление функции F(X). Следовательно, формула Тейлора дает возможность заменить функцию Y = F(X) Многочленом Y = Pn(X) С соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(X).

< Предыдущая		Следующая >