2.4.2. Раскрытие неопределенностей

Если функции F(X) И G(X) удовлетворяют на некотором отрезке [Ab] условиям теоремы Коши и F(A) = G(A) = 0, то отношение F(X)/G(X) Не определено при Х=а, но определено при остальных значениях Х. Поэтому можно поставить задачу вычисления предела этого отношения при Вычисление таких пределов называют обычно «раскрытием неопределенностей вида {0/0}».

Теорема 3 (правило Лопиталя). Пусть функции F(X) и G(X) Удовлетворяют на отрезке [Ab] условиям теоремы Коши и F(A)=G(A)=0. Тогда, если существует

То существует и

Причем

Доказательство.

Выберем

Из теоремы Коши следует, что

По условию теоремы F(A)=G(A)=0, поэтому

При . При этом, если существует

То существует и

Поэтому

Теорема доказана.

Пример.

При A > 0

Замечание 1. Если F(X) Или G(X) Не определены при Х=а, можно доопределить их в этой точке значениями F(A)=G(A)=0. Тогда обе функции будут непрерывными в точке А, и к этому случаю можно применить теорему 3.

Замечание 2. Если F’(A)=G’(A)=0 и F’(X) И G’(X) Удовлетворяют условиям, наложенным в теореме 3 на F(X) И G(X), к отношению можно еще раз применить правило Лопиталя:

И так далее.

Пример.

Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей вида , то есть для вычисления предела отношения двух функций, стремящихся к бесконечности при

Теорема 4. Пусть функции F(X) и G(X) непрерывны и дифференцируемы при в окрестности точки А, причем в этой окрестности. Тогда, если

И существует

То существует и

Причем

Доказательство.

Выберем в рассматриваемой окрестности точки А Точки A и Х Так, чтобы A < X < A (или A < X < A). Тогда по теореме Коши существует точка С (A < C < X) такая, что