logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Дифференциальное исчисление 2.3.6. Примеры решения задач по теме «Производные высших порядков»

2.3.6. Примеры решения задач по теме «Производные высших порядков»

Задача 1.

Найти вторую производную от функции

Указание

Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ:

Задача 2.

Найти вторую производную от функции

При Х = 1.

Указание

Найдите вторую производную по формуле

А затем вычислите ее значение при Х = 1.

Решение

Ответ:

Задача 3.

Найти производную 4-го порядка от функции

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ:

Задача 4.

Найдите общее выражение для производной порядка П от функции

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для П-й производной от ее порядка.

Ответ:

Задача 5.

Найдите общее выражение для производной порядка П от функции

Указание

Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:

Решение

Ответ:

Задача 6.

Найти вторую производную для функции, заданной параметрически:

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 7.

Найти D3Y для функции У = Х5.

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 8.

Вычислите производную:

Указание

Воспользуйтесь формулой Лейбница:

Решение

Пусть

Тогда

Применяя формулу Лейбница, получим:

Ответ:

Задача 9.

Рассматриваются функции

Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?

Указание

По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)

4) непрерывна на отрезке [Ab];

5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).

Решение

Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:

Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;

Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;

3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;

Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке;

Существует на всем отрезке;

Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.

Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.

Ответ: 4.

 
Яндекс.Метрика
Наверх