logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Дифференциальное исчисление 2.3.2. Свойства производных высших порядков

2.3.2. Свойства производных высших порядков

Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1. (Cf(x))(n)=c·f(n)(x).

2. (f(x)+g(x))(n)=f(n)(x)+g(n)(x).

3. Для Y=xm y(n)=n(n-1)…(n-m+1)xm-n. Если M – натуральное число, то при N>M Y(N)=0.

4. Можно вывести так называемую Формулу Лейбница, позволяющую найти производную N-го порядка от произведения функций F(X)G(X):

Заметим, что коэффициенты в этой формуле совпадают с соответствующими коэффициентами формулы бинома Ньютона, если заменить производные данного порядка той же степенью переменной. Для N=1 эта формула была получена при изучении первой производной, для производных высших порядков ее справедливость можно доказать с помощью метода математической индукции.

5. Получим формулу для второй производной функции, заданной параметрически. Пусть X = J(T), Y = Y(T), T0 < T < T. Тогда

Следовательно,

 
Яндекс.Метрика
Наверх