2.1.5. Дифференцируемость функции

Определение. Если приращение функции y = f(x) при х = х0 можно представить в виде

Где A = const, то y = f(x) называется дифференцируемой при х = х0, а АDх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.

Обозначение: dy = АDх.

Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Dx, можно обозначать Dх = dx.

Теорема 1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

1) Если для y=f(x) существует

Где b(Δх) – бесконечно малая при . Тогда

Следовательно, функция y = f(x) дифференцируема при х = х0, причем А = f`(x0).

2) Пусть y=f(x) дифференцируема при х=х0, то есть ее приращение имеет вид

Тогда

.

Таким образом, f(x) имеет производную в точке х0, равную А.

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде

А производную – в виде

Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Из формулы

Следует, что

Что и означает непрерывность f(x) при х = х0.

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.