logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Дифференциальное исчисление 1.4.6. Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»

1.4.6. Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»

Задача 1.

При каком значении числа А функция

Будет непрерывной?

Указание

Функция может иметь разрыв только в точке Х = 5, поэтому А следует выбрать так, чтобы в этой точке выполнялось равенство

Решение

Областью определения функции является все множество действительных чисел, причем по обе стороны точки Х = 5 функция является элементарной, то есть непрерывной. Для обеспечения непрерывности в точке Х = 5 поставим условие

Ответ: 5.

Задача 2.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Указание

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.

Решение

Найдем предел данной функции в точке Х = 0:

Следовательно, если принять F (0) = 3, функция станет непрерывной точке Х = 0.

Ответ: 3.

Задача 3.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Указание

Вычисляя предел функции в точке Х = 0, воспользуйтесь тем, что второй множитель – ограниченная функция, и примените свойства бесконечно малых.

Решение

Ограниченная функция. Как известно, произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая, поэтому

То есть предел существует и конечен. Поэтому можно доопределить функцию так: F (0) = 0.

Ответ: F (0) = 0.

Задача 4.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Указание

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.

Решение

Найдем односторонние пределы данной функции в точке Х = 0:

Следовательно, предел данной функции в точке Х = 0 в обычном смысле не существует, поэтому добиться ее непрерывности в этой точке невозможно.

Ответ: это невозможно.

Задача 5.

Найти количество точек разрыва функции

Исследовать характер этих точек.

Указание

На область определения накладываются два ограничения: логарифмируемое выражение должно быть положительным, а знаменатель дроби – не равным нулю.

Решение

Данная функция не существует при трех значениях аргумента: Х = 0 и Х = +1 (в первом случае знаменатель не существует, во втором он равен нулю). Каждая из найденных точек является внутренней точкой области определения и, следовательно, точкой разрыва.

Исследуем характер точек разрыва:

Следовательно, Х = 0 – устранимая особенность.

Следовательно,

И Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.

Ответ: Х = 0 – устранимая особенность, Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.

Задача 6.

Выяснить, какие из функций

Имеют точки разрыва 1-го рода.

Указание

В точке разрыва 1-го рода существуют конечные односторонние пределы функции, но они не равны между собой.

Решение

Найдем точки разрыва каждой функции и исследуем их характер.

1) Функция

Не определена при Х = 0.

Следовательно, единственная точка разрыва этой функции – это точка разрыва 2-го рода.

2) Функция

Не определена при Х = 0 (заметим, что знаменатель основной дроби не равен нулю ни при каком значении Х).

Найдем односторонние пределы F (X) в точке Х = 0:

Следовательно, Х = 0 – точка разрыва 1-го рода.

3) Функция

Не определена при Х = 5.

Следовательно, точка Х = 5 – точка разрыва 2-го рода.

4) Функция

Не определена при Х = -0,5. При этом

Таким образом, односторонние пределы в точке Х = -0,5 равны соответственно 1 и -1, то есть эта точка – точка разрыва 1-го рода.

Ответ: 2,4.

 
Яндекс.Метрика
Наверх