1.1.8. Примеры решения задач по теме «Множества. Функция. Определение предела»

Задача 1.

Найти область определения функции

Указание

Область определения функции задается неравенством

Решение

Область определения функции задается неравенством

Ответ:

Задача 2.

Найти область определения функции

Указание

Область определения функции задается системой неравенств

Решение

Область определения функции задается системой неравенств

Ответ:

Задача 3.

Вычислить предел:

Указание

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель.

Решение

Перед нами так называемая неопределенность типа так как при Х = 3 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю. Следовательно, Х = 3 является корнем и числителя, и знаменателя. Поэтому можно разложить обе части дроби на множители и сократить общий множитель (Х – 3):

Ответ: 4.

Задача 4.

Вычислить предел:

Указание

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель.

Решение

При Х = 1 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю, следовательно, можно разложить их на множители и сократить общий множитель (Х – 1):

Ответ: 2.

Задача 5.

Вычислить предел:

Указание

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель.

Решение

При Х = -3 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю, следовательно, можно разложить их на множители и сократить общий множитель (Х + 3):

Теперь при числитель дроби стремится к -6, а знаменатель – к нулю. Следовательно, дробь неограниченно возрастает, и предел равен бесконечности.

Ответ: .

Задача 6.

Вычислить предел:

Указание

Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень знаменателя.

Решение

На этот раз перед нами неопределенность вида – обе части дроби при Х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастают. Для того чтобы избавиться от этой неопределенности, разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень знаменателя:

Учитывая, что

Получим:

Ответ: 0.

Задача 7.

Вычислить предел:

Указание

Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х2 – старшую степень знаменателя.

Решение

Для того чтобы избавиться от неопределенности вида , разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х2 – старшую степень знаменателя:

Ответ: .

Задача 8.

Вычислить предел:

Указание

Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень числителя и знаменателя.

Решение

Для того чтобы избавиться от неопределенности вида , разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень числителя и знаменателя:

Ответ: 3.

Задача 9.

Вычислить предел:

Указание

Домножьте числитель и знаменатель на выражения

И примените формулы сокращенного умножения.

Решение

Домножим числитель и знаменатель на выражения

И применим формулы разности квадратов и разности кубов:

Ответ: 2.

Задача 10.

Вычислить предел:

Указание

Домножьте и разделите данное выражение на

Решение

Домножим и разделим данное выражение на

Теперь разделим обе части дроби на |X| = -X (при этом подкоренные выражения нужно разделить на Х2):

Ответ: -6.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!