1.1.8. Примеры решения задач по теме «Множества. Функция. Определение предела» |
|
Задача 1. Найти область определения функции
Указание Область определения функции задается неравенством
Область определения функции задается неравенством
Ответ: Задача 2. Найти область определения функции
Указание Область определения функции задается системой неравенств
Область определения функции задается системой неравенств
Ответ: Задача 3. Вычислить предел:
Указание Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель. Решение Перед нами так называемая неопределенность типа
Ответ: 4. Задача 4. Вычислить предел:
Указание Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель. Решение При Х = 1 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю, следовательно, можно разложить их на множители и сократить общий множитель (Х – 1):
Ответ: 2. Задача 5. Вычислить предел:
Указание Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель. Решение При Х = -3 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю, следовательно, можно разложить их на множители и сократить общий множитель (Х + 3):
Теперь при Ответ: Задача 6. Вычислить предел:
Указание Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень знаменателя. Решение На этот раз перед нами неопределенность вида
Учитывая, что
Получим:
Ответ: 0. Задача 7. Вычислить предел:
Указание Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х2 – старшую степень знаменателя. Решение Для того чтобы избавиться от неопределенности вида
Ответ: Задача 8. Вычислить предел:
Указание Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень числителя и знаменателя. Решение Для того чтобы избавиться от неопределенности вида
Ответ: 3. Задача 9. Вычислить предел:
Указание Домножьте числитель и знаменатель на выражения
И примените формулы сокращенного умножения. Решение Домножим числитель и знаменатель на выражения
И применим формулы разности квадратов и разности кубов:
Ответ: 2. Задача 10. Вычислить предел:
Указание Домножьте и разделите данное выражение на
Решение Домножим и разделим данное выражение на
Теперь разделим обе части дроби на |X| = -X (при этом подкоренные выражения нужно разделить на Х2):
Ответ: -6.
|
так как при Х = 3 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю. Следовательно, Х = 3 является корнем и числителя, и знаменателя. Поэтому можно разложить обе части дроби на множители и сократить общий множитель (Х – 3):
числитель дроби стремится к -6, а знаменатель – к нулю. Следовательно, дробь неограниченно возрастает, и предел равен бесконечности.
.
– обе части дроби при Х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастают. Для того чтобы избавиться от этой неопределенности, разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень знаменателя:
