logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Дифференциальное исчисление 1.1.8. Примеры решения задач по теме «Множества. Функция. Определение предела»

1.1.8. Примеры решения задач по теме «Множества. Функция. Определение предела»

Задача 1.

Найти область определения функции

Указание

Область определения функции задается неравенством

Решение

Область определения функции задается неравенством

Ответ:

Задача 2.

Найти область определения функции

Указание

Область определения функции задается системой неравенств

Решение

Область определения функции задается системой неравенств

Ответ:

Задача 3.

Вычислить предел:

Указание

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель.

Решение

Перед нами так называемая неопределенность типа так как при Х = 3 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю. Следовательно, Х = 3 является корнем и числителя, и знаменателя. Поэтому можно разложить обе части дроби на множители и сократить общий множитель (Х – 3):

Ответ: 4.

Задача 4.

Вычислить предел:

Указание

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель.

Решение

При Х = 1 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю, следовательно, можно разложить их на множители и сократить общий множитель (Х – 1):

Ответ: 2.

Задача 5.

Вычислить предел:

Указание

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократите на общий знаменатель.

Решение

При Х = -3 и числитель, и знаменатель дроби равны нулю, следовательно, можно разложить их на множители и сократить общий множитель (Х + 3):

Теперь при числитель дроби стремится к -6, а знаменатель – к нулю. Следовательно, дробь неограниченно возрастает, и предел равен бесконечности.

Ответ: .

Задача 6.

Вычислить предел:

Указание

Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень знаменателя.

Решение

На этот раз перед нами неопределенность вида – обе части дроби при Х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастают. Для того чтобы избавиться от этой неопределенности, разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень знаменателя:

Учитывая, что

Получим:

Ответ: 0.

Задача 7.

Вычислить предел:

Указание

Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х2 – старшую степень знаменателя.

Решение

Для того чтобы избавиться от неопределенности вида , разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х2 – старшую степень знаменателя:

Ответ: .

Задача 8.

Вычислить предел:

Указание

Разделите каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень числителя и знаменателя.

Решение

Для того чтобы избавиться от неопределенности вида , разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Х3 – старшую степень числителя и знаменателя:

Ответ: 3.

Задача 9.

Вычислить предел:

Указание

Домножьте числитель и знаменатель на выражения

И примените формулы сокращенного умножения.

Решение

Домножим числитель и знаменатель на выражения

И применим формулы разности квадратов и разности кубов:

Ответ: 2.

Задача 10.

Вычислить предел:

Указание

Домножьте и разделите данное выражение на

Решение

Домножим и разделим данное выражение на

Теперь разделим обе части дроби на |X| = -X (при этом подкоренные выражения нужно разделить на Х2):

Ответ: -6.

 
Яндекс.Метрика
Наверх