1.1.6. Односторонние пределы

Обозначения:

Теорема (второе определение предела). Функция Y=F(X) имеет при Х, стремящемся к Х0, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.

Доказательство.

1) Если

То и для X0 – х < D, и для Х - х0 < D |F(X) - A|<E, то есть

2) Если

То существует D1: |F(X) - A| < E при X0 – X < D1 и D2: |F(X) - A| < E при Х - х0 < D2. Выбрав из чисел D1 и D2 меньшее и приняв его за D, получим, что при |X - X0| < D |F(X) - A| < E, то есть

Теорема доказана.

Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.