14. Методы решения задач на условный экстремум

1°. Метод исключения переменных состоит в том, что из - условий связи переменных выражаются через остальные , и задача на условный экстремум функции переменных приводится к задаче на экстремум для функции переменных.

Метод применяют для задач небольшой размерности.

2°. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать трудностей, связанных с выражением одних переменных через другие.

Метод состоит в следующем:

1. Составляют функцию Лагранжа:

2. Стационарные точки функции Лагранжа и коэффициенты находят из системы уравнений

, ;

, .

Стационарные точки функции Лагранжа совпадают со стационарными точками функции из множества .

3. Для установления, являются ли стационарные точки точками экстремума, в каждой стационарной точке вычисляют второй дифференциал функции Лагранжа:

4. При установлении знака следует помнить, что связаны уравнениями , .

Примеры

1. Исследовать на экстремум функцию при условии, что

Решение:

Решим поставленную задачу методом неопределенных множителей Лагранжа:

1) Составим функцию Лагранжа

2) Система, из которой определяется множитель l и критические точки, имеет вид:

Система определяет 4 стационарные точки:

Первым двум точкам соответствует ; точкам —

4) Дифференцируя условие связи, получаем соотношение, связывающее и

В точках :

точки — точки условного минимума.

В точках :

точки — точки условного максимума.

5°. В некоторых случаях исследование знака второго дифференциала не обязательно. В приведенном выше примере непрерывная функция рассматривается на ограниченном замкнутом множестве, определяемом условием:

Такая функция достигает наибольшего и наименьшего значений. Поскольку в стационарных точках функция принимает только 2 различных значения: и , то без исследования знака второго дифференциала очевидно, что — точки минимума, — точки максимума.

В некоторых задачах геометрического характера, достаточно найти стационарную точку. Характер экстремума следует из самого смысла задачи.

2. На плоскости найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до точек А(1, 1,1) и В(2, 3, 4) была бы наименьшей.

Решение:

Пусть — искомая точка. Тогда выражение представляет собой сумму квадратов расстояний от точки до точек и . Поскольку принадлежит плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: