09.4. Натуральное уравнение гладкой кривой и уравнение нормальной плоскости

Пусть кривая гладкая кривая. В силу теоремы 2 переменная длина дуги , отсчитываемая от начала кривой , является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией с производной, положительной во всех точках отрезка : . Так как и , то обратная функция однозначна, строго возрастает, непрерывно дифференцируема на отрезке . По теореме об обратной функции имеем

.

Таким образом, для всякой гладкой кривой ее параметр является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией переменной длины , производная этой функции нигде не обращается в нуль.

Следовательно, функция является допустимым преобразованием параметра и уравнение кривой можно записать в виде , .

Если параметром кривой является переменная длина ее дуги , то называется натуральным параметром, а уравнение кривой называется натуральным уравнением кривой.

Теорема 3 Пусть кривая гладкая, a – переменная длина ее дуги. Тогда является единичным касательным к кривой вектором и .

Из теоремы 3 следует, что если , , – углы, образованные вектором касательной к кривой С осями , , соответственно, то.

Нормальной плоскостью к кривой называется плоскость, перпендикулярная касательной прямой и проходящая через точку касания.

Пусть – точка касания (рисунок 9.7). Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости , проходящей через эту точку, имеет вид

,

Где – нормальный вектор плоскости.

Из определения нормальной плоскости следует, что векторы и коллинеарные, поэтому можно положить , , . Тогда искомое уравнение плоскости будет иметь вид:

.

Рисунок 9.7 – Нормальная плоскость к кривой

Вопросы для самоконтроля

1 Дайте определение векторной функции и годографа.

2 Дайте определение предела и непрерывности векторной функции. Перечислите свойства предела вектор-функции.

3 Дайте определение производной векторной функции. Какая вектор-функция называется дифференцируемой? Что называется дифференциалом векторной функции?

4 В чем состоит геометрический и физический смысл производной вектор-функции?

5 Дайте определение кривой. Перечислите способы задания кривой.

6 Какая прямая называется касательной к кривой?

7 Какая кривая называется гладкой кривой?

8 Что называется разбиением кривой?

9 Какая кривая называется спрямляемой? Дайте определение длины кривой.

10 Чему равен дифференциал дуги?

11 Какое уравнение называется натуральным уравнением гладкой кривой?

12 Чему равна длина единичного вектора касательной? Какие координаты он имеет?

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!