08.4. Решение типовых примеров

1 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) находим , определяем точки разрыва, нули, точки пересечения графика функции с осью , периодичность, симметрию. Функция определена при тех значениях , для которых, как следует из определения арксинуса, выполнено неравенство

.

Данное неравенство равносильно неравенству , которое верно для любых вещественных .

Итак, .

Функция непрерывна в любой точке (как частное двух непрерывных функций). Поэтому функция также непрерывна в любой точке (как суперпозиция непрерывных функций).

Функция непериодическая.

Поскольку

=,

То функция является нечетной. Поэтому вместо всей области определения достаточно рассмотреть полупрямую .

При имеем . Других нулей функция не имеет. На полупрямой функция является положительной;

2) асимптоты графика функции. В силу непрерывности функции на , график функции не имеет вертикальных асимптот. Для нахождения наклонной асимптоты при вычислим следующие пределы:

=0,

.

Отсюда следует, что прямая является горизонтальной асимптотой при .

Аналогично устанавливается, что прямая – горизонтальной асимптотой при ;

3) точки возможного экстремума и интервалы монотонности функции.

Найдем точки возможного экстремума на полупрямой . Вычислим производную функции при :

.

Отсюда видно, что производная не обращается в нуль ни в одной точке. Так как , , то точка является точкой излома. Значит, имеем только одну точку возможного экстремума .

Промежутки монотонности функции определяются знаком производной: при , при .

Знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус. Поэтому в точке функция имеет локальный максимум, причем .

Отметим, что в точке функция непрерывна, а ее производная имеет разрыв 1-го рода. Значит, точка графика является угловой точкой;

4) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Вторая производная при имеет вид

.

Направление выпуклости определяется знаком второй производной:

при , значит график функции на этом промежутке выпуклый,

при , значит график функции на этом промежутке вогнут.

Так как вторая производная обращается в нуль лишь при и при переходе через точку меняет знак, то в точке график функций имеет перегиб.

Результаты исследования функции заносим в таблицу 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты исследования функции

0

1

2

+

Не сущ.

0

Не сущ.

+

0

Точка

Перег.

Угл. точ.

Исходя из результатов, содержащихся в таблице 8.2, строим график данной функции на полупрямой .

Используя нечетность функции, достраиваем ее график на всей области определения (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 – График функции

2 Исследовать функцию, заданную параметрическими уравнениями, и построить график

, . (8.3)

Решение. 1) функции , определены на множестве

.

Поскольку

, ,

, ,

То – вертикальная асимптота кривой.

Найдем односторонние пределы в точках и :

, ,

, ,

, ,

, .

Отсюда следует, что при и возможны наклонные асимптоты.

Так как при

, ,

То прямая – наклонная асимптота.

Так как при

, ,

То прямая – наклонная асимптота.

Итак,

,

;

2) так как

, ,

То график функции симметричен относительно начала координат . Поэтому рассмотрим график функции только на множестве ;

3) на множестве имеем при , при и ;

4) найдем производные функций , :

, .

На множестве и при

0,47 и 1,51.

Тогда , и , , т. е. имеем точки возможного экстремума и ;

5) найдем производные и :

, .

Отсюда при , при ;

6) составим таблицу результатов исследования (таблица 8.3):

Таблица 8.3 – Результаты исследования функции

0,47

1,51

0,6

-0,7

0,3

2,3

Знак

+

+

+

7) строим часть кривой, соответствующую множеству . Далее, используя симметрию кривой, построим всю кривую (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – График функции (8.3)

3 Исследовать функцию заданную параметрическими уравнениями и построить график

, . (8.4)

Решение. 1) функции , определены на .

При этом

, , , .

Таким образом, возможны наклонные асимптоты.

Так как

,

То наклонных асимптот нет;

2) свойствами симметрии и периодичности функция не обладает;

3) имеем при и ; при , и ;

4) найдем производные функций , :

, .

Имеем при , при и . Тогда точки возможного экстремума , ;

5) найдем производные и:

, , .

Отсюда при , при ;

6) составим таблицу результатов исследования (таблица 8.4);

Таблица 8.4 – Результаты исследования функции (8.4)

-1

1

-3

1

-2

2

Знак

+

+

+

-

7) строим график функции. Первая производная не определена в точке , поэтому точка является угловой точкой графика.

Рисунок 8.3 – График функции ,

4 Исследовать функцию, заданную неявно и построить ее график

(8.5)

Решение. 1 способ. Разрешая данное уравнение относительно , получим .

Функции и симметричны относительно оси , то исследование можно провести для функции . Эта функция определена на отрезке , т. е. . Функция равна нулю при , , . На области определения функция является нечетной.

Находим производные функции :

=, =.

Точками возможного экстремума являются точки:

, , , .

Точки и являются граничными точками области определения . Определим характер точек и с помощью второй производной:

== 4 > 0,

== – 4 < 0.

Следовательно, является точкой минимума, – точкой максимума. Значения функции в этих точках соответственно равны:

== –,

== .

В точке вторая производная обращается в нуль. При имеем <0, при имеем >0. Следовательно, точка является точкой перегиба графика функции .

График функции изображен на рисунке 8.4. Отображая построенный график симметрично относительно оси , получим график исходной функции (рисунок 8.5). Видно, в точке график пересекает себя, поэтому является точкой самопересечения.

Рисунок 8.4 – График функции

Рисунок 8.5 – График функции

2 способ. Полагая из уравнения , получим . Отсюда . Поскольку , то график функции симметричен относительно оси , и поэтому будем рассматривать случай .

Тогда параметрические уравнения кривой имеют вид:

, . (8.6)

Исследование данной функции проводится по схеме для функций, заданных параметрическими уравнениями.

1) функции , определены на .

При этом

, , , .

Таким образом, наклонные асимптоты отсутствуют;

2) так как

, ,

То график функции симметричен относительно оси .

Свойством периодичности функция не обладает;

3) имеем , при ;

4) найдем производные функций , :

, .

Имеем при , в точках и ;

5) найдем производные и :

, .

Так как , то . Тогда

, .

Так как , то . Тогда

, ;

6) строим график функции, заданной уравнениями (8.6). Отображая симметрично относительно оси , получаем график исходной функции (рисунок 8.7).

Рисунок 8.6 – График функции

, ,

Рисунок 8.7 – График функции

5 Исследовать и построить график функции

. (8.7)

Решение. Данная функция при тех значениях , для которых, как следует из определения полярного радиуса, выполнено неравенство

.

Кроме того, функция является Периодической, то достаточно рассмотреть промежуток

.

Поскольку

,

,

То прямая

Является асимптотой при .

Аналогично

,

,

И прямая

Является асимптотой при .

Так как , то это одна и та же прямая.

Если , то из уравнения (8.7) следует =0, т. е. имеем точку .

При , полагая , получим параметрическое задание кривой:

, . (8.8)

Найдем производные

, .

Имеем при , при и .

Найдем производные и :

, .

При имеем <0 и , значит функция убывает и вогнута, следовательно, подходит к асимптоте сверху.

При имеем и , значит, функция убывает и вогнута. При этом

При имеем и , значит, функция возрастает и вогнута. При этом

, .

При имеем и , значит, функция возрастает и выпукла. При этом

, .

При имеем и , значит, функция возрастает и выпукла.

Так как , то является точкой возврата.

График функции (8.7) называется Декартов лист и изображен на рисунке 8.8. В декартовой системе координат декартов лист задается уравнением:

.

Рисунок 8.8. Декартов лист

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!