01.2. Дифференцируемость функции и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Функция называется Дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде:

,

Где – некоторое действительное число и .

Дифференцируемость функции в точке означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента , приращение функции представимо в виде линейной функции от .

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала конечная производная . Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке. Обратное верно не всегда, т. е. из непрерывности функции в точке еще не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Функция называется Дифференцируемой На , если она дифференцируема в любой точке .

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда ее приращение в этой точке представимо в виде:

.

Отсюда, если , то

.

Следовательно, при приращение функции и выражение являются эквивалентными бесконечно малыми функциями. Поэтому при можно приближенно считать, что .

Дифференциалом Функции называется величина , являющаяся Главным (линейным) членом приращения функции в точке и обозначается :

.

В частности, если , то , и, следовательно, , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции в точке можно представить в виде

.

Тогда приращение функции можно записать в виде

.

Видно, что дифференциал функции в точке отличается от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при .

На практике дифференциал используется при приближенных вычислениях следующим образом:

. (1.1)

< Предыдущая		Следующая >