4.2. Численное дифференцирование на равномерной сетке

Пусть задана сетка .

Теорема 4.1. Обозначим и т. д. и пусть , тогда существует такая точка , для которой справедлива формула:

(2)

Т. к. , то справедливо разложение Тейлора с центром в точке и остаточным членом в форме Лагранжа:

.

В точке получаем:

,

Откуда следует

,

Что и требовалось доказать.

Теорема 4.2. Пусть тогда

.

(3)

Самостоятельно. См. ход доказательства следующей теоремы .

Теорема 4.3. Пусть , тогда существует такая точка , что справедлива формула

.

(4)

По условию теоремы справедливо тейлоровское разложение функции с центром в точке :

, (5)

Где . Положим в формуле (5) последовательно и :

Складывая эти две формулы, получим

.

В силу непрерывности четвертой производной :

,

Откуда следует:

, т. е. формула (4) .

Замечание. Формулы (2), (3) и (4) называются Формулами численного дифференцирования. При этом формула (2) Аппроксимирует первую производную в узле Правой конечной разностью и имеет Порядок точности (т. е. Первый порядок);

Формула (3) аппроксимирует первую производную центральной конечной разностью и имеет Порядок точности (Второй порядок);

Формула (4) аппроксимирует вторую производную в узле центральной конечной разностью и имеет Порядок точности .

< Предыдущая		Следующая >