3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений
Теорема 3.3. Пусть 
(одномерный случай) и задана функция F(X), удовлетворяющая условиям:
|
1) Условие Липшица с константой 2) |
(1) |
-
.Тогда оператор F(X) - сжимающий и уравнение F(x)=х имеет единственную неподвижную точку, которую можно найти методом простых итераций:
.
Действительно, определим 
. Следовательно, выполняется условие Липшица из теоремы 3.2, откуда и следует результат. 
Теорема 3.4. Пусть 
, причем выполнены условия:
|
1) 2) |
(8) |
Тогда оператор F(X) является сжимающим, и справедливо утверждение теоремы 3.1, т. е. последовательность 
сходится к единственному коню уравнения 
.
Пусть 
, тогда 
, согласно условию 1) теоремы. Далее по индукции устанавливаем, что все члены последовательности 
принадлежат 
. Пусть 
. Согласно теореме о среднем
, 
. Оценим это неравенство по модулю:
согласно условию 2) теоремы.
Таким образом, выполняются все условия теоремы 3.3., откуда и следует результат.
Рассмотрим задачу поиска корней уравнения 
. Пусть известны границы для единственного корня этого уравнения и мы хотим найти этот корень методом итераций. Если удастся привести уравнение к виду X=f(X), Так чтобы выполнялись условия теоремы 3.3 или теоремы 3.4, то в этом случае можно будет применить метод итераций. Такое преобразование, вообще говоря, не единственно, причем главная трудность заключается в определении того замкнутого ограниченного множества S (а в одномерном случае – отрезка [A,B]), для которого помимо условия сжатости, выполняется условие 
.
Лемма 3.1. Определим множество 
- замкнутый R-“шар” с центром в точке Х0 (в одномерном случае – отрезок). Пусть оператор Т - сжимающий на S и выполняется следующее условие:
|
|
(9) |
Тогда для любой точки 
выполняется: 
.
Достаточно доказать, что 
Имеем: 
{неравенство треугольника}
.
Пример 1. Решить уравнение
С точностью 
.
Приведем уравнение к виду:
|
|
(10) |
 |
Графическое решение уравнения (10) приведено на рисунке 3.1.
Рис. 3.1. Графическое решение уравнения (10). Кривая (1) - график функции 
. Кривая (2) - график функции 
.
Найдем первую производную: 
.
При 
имеем: 
(значение 
можно использовать в итерациях). Можно улучшить оценку для 
, если заметить, что по графику на рис.3.1 
. Но это значение константы сжатия следует подтвердить выполнением условия (9) леммы 3.1.
Для простоты положим 
=0,5 и оценим радиус “шара” R, взяв в качестве начальной точки 
. Тогда получим:
; 
.
Таким образом, если положить
,
То условие (9) выполняется. Последовательно находим:
Продолжаем процедуру, пока 4 значащие цифры после запятой не установятся. При 
Придется сделать 10 итераций, при этом Х*=х10=0,4816.
Пример 2. Решить уравнение F(X)=Tg X – X=0, xÎ[
;
].
Решить самостоятельно: построить график, затем сделать замену переменных:
X=
+Arctg Y и привести уравнение к виду: y=+Arctg y=f(Y), показать, что данное уравнение удовлетворяет принципу сжатых отображений. Оценить α и запустить процедуру для ε = 0,001.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
