3. Расстояние между двумя точками на плоскости

А) найдем сначала расстояние Точки от начала координат (рис.3).

Расстояние является гипотенузой прямоугольного с катетами

и . По теореме Пифагора

. (1)

Таким образом, расстояние точки от начала координат равно корню квадратному из суммы квадратов координат этой точки.

Рис.3

 

Б) в общем случае, пусть для точек И (рис.4) требуется найти расстояние между этими точками.

Рис.4








 

Рис.4

 
Выберем новую систему координат Начало которой совпадает с точкой и оси которой параллельны с ними. Тогда в новой системе координат точки и будут иметь координаты и . Отсюда на основании формулы (1) получаем

, (2)

Т. е. расстояние между точками плоскости равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.







Пример 1. Точки и лежат на биссектрисе первого координатного угла. Расстояние между ними равно 4 единицы масштаба. Найти координаты точки .

Решение. Так как точка лежит на биссектрисе первого координатного угла, то ее абсцисса и ордината между собой равны. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза , а . Тогда по теореме Пифагора

.

Таким образом абсцисса искомой точки (а значит, и ее ордината) получится из абсциссы точки , если к ней сначала прибавить, а потом из нее вычесть , и задача имеет два решения:

и .

Пример 2. Найти расстояние между точками и .

Решение. По формуле (2) для расстояния между двумя точками, если , получаем

Ед. масштаба.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!