17. Нецентральные кривые второго порядка

Кривая второго порядка называется нецентральной, если она или не имеет центра симметрии, или же имеет бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим кривую второго порядка

(1)

Где и . Для определенности будем считать, что

, (2)

Кроме того, предположим, что , в противном случае мы бы имели пару параллельных прямых.

Дополняя в уравнении (1) члены с до полного квадрата, будем иметь

Или, полагая

(3)

Получим

. (4)

Рис.16

Кривая (4) называется Параболой (рис.16); точка

называется Вершиной параболы, а число

называется Параметром параболы. Прямая

является Осью симметрии параболы (ось параболы); центра симметрии парабола не имеет. Если вершина параболы находится в начале координат, а ее осью является ось

, то получаем Каноническое уравнение параболы (рис.17)

(5)

Если поменять местами оси и , то каноническое уравнение параболы примет вид

(6)

Это уравнение параболы с вертикальной осью (рис.17 а)).

Рис.17

Рассмотрим параболу на рис.17

Рис.17 а)

Точка

называется ее Фокусом, а прямая

, уравнение которой

называется Директрисой параболы. Для точки

ее фокальный радиус

равен

(7)

С другой стороны расстояние этой точки до директрисы равно

Таким образом, парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось , а эксцентриситет Найти расстояние между фокусами эллипса.

Решение. Воспользуемся формулой, выражащающей эксцентриситет через отношение полуосей:

или

Откуда

В данном случае

Следовательно, каноническое уравнение эллипса

Так как , то ; и расстояние между фокусами

Пример 2. Асимптоты гиперболы имеют уравнения а расстояние между фокусами равно . Написать ее каноническое уравнение.

Решение. Разрешим уравнение асимптот относительно И, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение к :

Кроме того, т. е. Так как для гиперболы то для нахождения и получим систему уравнений

Решая систему найдем . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример 3. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее уравнение.

Решение. Так как парабола симметрична относительно оси и проходит через точку A c положительной абсциссой, то она имеет вид . Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы, получим , т. е.

Следовательно, искомое уравнение , фокус этой параболы , уравнение директрисы

< Предыдущая		Следующая >