14. Окружность

Выведем уравнение окружности (рис.13) с центром в точке и радиусом . Для произвольной точки окружности выполнено равен­ство

. (1)

По формуле расстояния между двумя точками имеем

. (2)

Так как обе части равенства (2) положительны, то, возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

. (3)

Координаты любой точки данной окружности удовлетворяют уравнению (3). Таким образом, уравнение (3) представляет собой уравнение окружности радиуса с центром в точке . Это уравнение называется нормальным уравнением окружности.

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат

. (4)

Уравнение (3) можно привести к виду

(5)

Где

Таким образом окружность является кривой второго порядка. Сравнивая уравнение (5) с общим уравнением кривой второго порядка

(6)

Видим, что в (5) и , т. е.

Обратно, положим в (6) и :

. (7)

Деля уравнение (7) почленно на и полагая

, (8)

Получим уравнение вида (5).

Уравнение (7) называется общим уравнением действительной окружности при , где выражаются равенствами (8).

Таким образом: действительная кривая второго порядка является окружностью тогда и только тогда, когда

1) коэффициенты при квадратах текущих координат равны между собой и

2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат.

< Предыдущая		Следующая >