37. Векторная проекция вектора на прямую

Определение 2. Проекцией точки A на прямую L Называется основание A¢ перпендикуляра AA¢, опущенного из точки A на прямую L.

Определение 3. Проекцией направленного отрезка На прямую L Называется направленный отрезок , где A¢ и B¢ Соответственно проекции точек A и B На прямую L.

Определение 4. Проекцией (Векторной проекцией) Вектора A на прямую L Называется вектор, изображаемый проекцией направленного отрезок, который изображает данный вектор a.

Векторная проекция вектора A на прямую L изображается символом ПрL A.

Теорема 1. Векторная проекция ПрL A не зависит от направленного отрезка, которым изображается данный вектор a.

Доказательство. Пусть вектор A изображается направленным отрезком , Проекция на прямую L (см. рис. 21).

Точки A¢ и B¢ можно получить, проведя через точки A и B плоскости перпендикулярные прямой L. От точки A¢ отложим вектор A: a =. Четырехугольник A¢ABK - прямоугольник. Так как A¢A ^ L, То BK ^ L и плоскость B¢BK ^ L. Тогда BK ^ L и точка B¢ - Проекция точки K. Таким образом, направленные отрезки и имеют одну и туже проекцию.

Пусть вектор A изображается также направленным отрезком , проекция на прямую L. От точки С¢ отложим вектор A: a =. Направленные отрезки и имеют одну и туже проекцию . Докажем, что =.

Так как треугольники A¢B¢K И C¢D¢L равны, то A¢B¢ = C¢D¢. Так как лучи A¢ B¢ И C¢ D¢ Сонаправлены, то =.

Теорема 2. Для любой прямой L, Для Любых векторов A, B и для любого числа L справедливы следующие свойства:

1) ПрL (A + B) = ПрL A + ПрL B;

2) ПрL (l A) = l ПрL A.

Доказательство. Возьмем точку O на прямой L И построим сумму векторов a, B: A + B == (см. рис. 22). Пусть A¢ И B¢ проекции точек A И B на прямую L. Тогда

ПрL (A + B) ==

= ПрL A + ПрL B.

Свойство 2 докажите самостоятельно ( рассмотрите три случая l =0, l > 0, l < 0).

< Предыдущая		Следующая >