28. Элементы векторной алгебры. Скалярные и векторные величины

Если физическая или геометрическая величина характеризуется только одним неотрицательным числом, то она называется скалярной. Например, длина отрезка, площадь фигуры, объем тела, масса тела и т. д. скалярные величины.

Если физическая или геометрическая величина характеризуется не только и численным значением и направлением, то она называется Векторной. Например, скорость, ускорение, сила и т. д. векторные величины.

2. Сонаправленность лучей. Любая точка A принадлежащая прямой A Делит ее на две части. Лучом называется часть прямой A, расположенная по одну сторону от точки A. Точка A называется Началом луча. Если точка B Принадлежит лучу, то он обозначается двумя точками AB.

Определение 1. Два луча AB и CD называются Сонаправленными, если либо один из лучей содержится в другом луче, либо они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой AC (см. рис. 1). Обозначаем AB ­­CD. Лучи AB и KL называются Противоположно направленными, если луч сонаправлен с лучом дополнительным к лучу KL. Обозначаем AB ­¯KL.

На рис 1. лучи AB, CD, EF сонаправленные, а лучи AB, KL - противоположно направленные.

Теорема 1. Отношение сонаправленности лучей есть отношение эквивалентности, т. е. для любых лучей AB, CD, EF выполняются свойства:

1) - рефлексивность,

2) Þ - симметричность,

3) & CD ­­ EF Þ AB ­­ EF - транзитивнсть.

Доказательство. Первое и второе свойства, непосредственно следуют из определения сонаправленных лучей. Докажем третье свойство.

Пусть AB ­­CD & CD ­­ EF. Рассмотрим только один случай, когда лучи AB, CD, EF не лежат в одной плоскости (остальные случаи предоставляем рассмотреть самостоятельно).

Из условия следует, что лучи AB, CD, EF лежат на разных параллельных прямых. Тогда точки A, C, E Не лежат на одной прямой и рассмотрим плоскость a, проходящие через эти три точки, но ни один из лучей не лежит в плоскости (см. рис. 2). Рассмотрим прямые AC, CE, EA, которые лежат в плоскости a. Так как AB ­­CD И CD ­­ EF, то лучи AB и CD и лежат по одну сторону от прямой AC и от плоскости a, лучи CD и EF лежат по одну сторону от прямой CE и от плоскости a. Таким образом лучи AB и EA лежат по одну сторону от плоскости a и поэтому по одну сторону от прямой EA. Следовательно, по определению 1 CD ­­ EF. (убрать)

2. Лучи AB, CD, EF лежат в одной плоскости b, на разных параллельных прямых. Рассмотрим тогда четвертый луч KL, сонаправленный с лучом CD и не лежащий в плоскости b. Так как AB ­­CD & CD ­­ KL, то по случаю 1 AB ­­ KL. По свойству 2, KL ­­ CD.Так как KL ­­CD & CD ­­ EF, то по случаю 1 KL ­­ EF. Так как AB ­­KL & KL ­­ EF, то по случаю 1 AB ­­ EF.

Так как отношение сонаправленности лучей является отношением эквивалентности, то множество всех лучей разбивается на классы эквивалентности, каждый из которые состоят из всех лучей сонаправленных друг другу, и называется Направлением.

3. Направленные отрезки. Пусть A и B Различные точки принадлежащие прямой A. Отрезком AB называется часть прямой A, расположенная между точками A и B. Точка A и B Называется Концами отрезка AB.

Определение 3. Направленным отрезком Называется отрезок AB, обозначаемый символом , у которого один конец A считается первым, а конец В вторым. Первый конец называется началом, А второй - концом направленного отрезка.

На чертеже направленный отрезок изображается стрелкой, идущей из точки A в точку B.

Если конец и начало направленного отрезка совпадают, то он называется Нулевым направленным отрезком и изображается на чертеже точкой.

Определение 3. Два направленных отрезка и называются Сонаправленными (Противоположно направленными), если лучи AB и CD сонаправлены (противоположно направлены), обозначаем символом ­­ ( ­¯).

Определение 4. Длиной или Модулем направленного отрезка называется отрезка AB, обозначается символом

Определение 5. Два направленных отрезка и называются равными, если они сонаправлены, ­­, и их длины равны, =, обозначается символом =

Теорема 2. Отношение равенства направленных отрезков есть отношение эквивалентности, т. е. для любых направленных отрезков , , Выполняются свойства:

1) = - рефлексивность,

2) = Þ = - симметричность,

3) = & = Þ ­­ - транзитивнсть.

Доказательство. Докажем свойство 3, первое и второе свойства доказываются аналогично. По условию = & = . Тогда по определениям 3-5 имеем AB ­­CD, CD ­­ EF И =, =. По теореме 1 и по свойству длины отрезка имеем AB ­­EF и =. Отсюда, по определению, ­­ . 

Имеют место следующие утверждения равносильные определению равенства направленных отрезков.

Теорема 3. Два направленных отрезка И Равны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и CB совпадают.

Доказательство. Если отрезки , лежат на одной прямой, то утверждение следует из рис. 3. Поэтому рассмотрим случай, когда отрезки AB и CD лежат на разных прямых.

Пусть = . Так как лучи AB и CD сонаправлены, то точки D, B лежат по одну сторону от прямой AC. Так как AB||CD, |AB|= |CD|, то четырехугольник ADBC - параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма середины его диагоналей AD И CB Совпадают.

Если середины отрезков AD И CB (диагоналей четырехугольника ADBC), совпадают и по признаку четырехугольник ADBC - параллелограмм. Тогда лучи AB и CD сонаправлены и AB = CD. Отсюда по определению 5 = .

Следствие 1. Два направленных отрезка И Не лежащие на одной прямой равны тогда и только тогда, когда четырехугольник ADBC - параллелограмм.

Следствие 2. Два направленных отрезка И Не лежащие на одной прямой равны тогда и только тогда, когда равны направленные отрезки И .

Доказательство. Утверждения = и = равносильны, так как по теореме 3 оба они равносильны одному и тому же утверждению: середины отрезков AD И CB совпадают. 

< Предыдущая		Следующая >