120. Эллипсоиды

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

, (9)

Называется Эллипсоидом, A > 0, B > 0, C > 0. Числа A, B, C называются Полуосями эллипсоида.

Исследуем поверхность эллипсоида по уравнению (9). Так как все переменные входят в уравнение (9) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y, Z) эллипсоиду принадлежат все восемь точек (±X, ±Y, ±Z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллипсоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат. Эллипсоид пересекает координатные оси OX, OY, OZ соответственно в точках (±A, 0, 0), (0, ±B, 0), (0, 0, ±C), которые называются Вершинами эллипсоида.

Из уравнения эллипсоида находим, . Отсюда следует, что эллипсоид ограниченная поверхность: -A £ X £ A, -B £ Y £ B, -C £ Z £ C.

Исследуем методом сечений поверхность эллипсоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Например, пересекая эллипсоид плоскостями Z = H (-C £ H £ C), параллельными плоскости OXy. При -C < H < C получим в сечении эллипсы

,

С полуосями .

Эллипсы, лежащие в сечениях, наибольшие полуоси имеют при H = 0. При H = С в сечении получается точка. Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям OXz и OYz.

Если, какие-нибудь две из полуосей A, B, C эллипсоида равны друг другу, то он является эллипсоидом вращения. Если A = B = C, то эллипсоид является сферой X2 + Y2 = A2.

< Предыдущая		Следующая >