111. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат

Определение 1. Квадратичной формой определенной на V, называется отображение F: V ® P, которое для любого векторов X из V определяется равенством F(X) = G(X, X), где G(X, Y) - симметричная билинейная форма, определенная на V .

Свойство 1. По заданной квадратичной форме F(X) билинейная форма находится однозначно по формуле

G(X, Y) = 1/2(F(X+ Y) - F(X)- f(Y)). (1)

Доказательство. Для любых векторов X, Y €V получаем по свойствам билинейной формы

F(X+ Y) = G(X+ Y, X+ Y) = G(X, X+ Y) + G(Y, X+ Y) = G(X, X) + G(X, Y) + G(Y, X) + G(Y, Y) = F(X) + 2G(X, Y) + F(Y).

Отсюда следует формула (1). 

Определение 2. Матрицей квадратичной формы F(X) Относительно базиса V = (V1, V2,…, VN) называется матрица соответствующей симметричной билинейной формы G(X, Y) относительно базиса V.

Теорема 1. Пусть X = (X1, X2,…, Xn)T - координатный столбец вектора X в базисе V, B - матрица квадратичной формы F(X) Относительно базиса V. Тогда квадратичную форму F(X) Можно записать в следующих видах:

F(X)=XtBX , (2)

F(X)= . (3)

Доказательство. Матричная запись квадратичной формы следует из теоремы 1 § 1. Представление квадратичной формы в виде однородного многочлена второй степени от координат X1, X2,…, Xn вектора следует из определения произведения матриц (см. доказательство теоремы 1 § 1). 

Квадратичную форму (3) удобно записывать в виде F(X1, X2,…, Xn). После приведения подобных членов в (3) квадратичную форму F(X) удобно представить также в виде

F(X1, X2,…, Xn) = (4)

Пример 1. Функция H(X, Y) = 2X1 Y1- X2 Y2 + X2Y1+ X1 Y2 , где X = (X1, X2), Y= (Y1, Y2)€R2, симметричная билинейная форма на R2, которая имеет матрицу

.

Ей соответствует квадратичная форма F(X1, X2) = F(X) = H(X, X) = 2X12 - X22 + 2X1X2, матрица которой совпадает с указанной выше матрицей, и F(X1, X2) можно записать в матричном виде:

F(X1, X2) =.

Пусть V = (V1, V2,…, VN), U = (U1, U2,…, UN) - два базиса векторного пространства V, T- Матрица перехода от базиса v к базису u. Пусть B = (Bij)N´N и С = (СIj)N´N - матрицы квадратичной формы F(X) соответственно относительно базисов V И U, X, Y - Координатные столбцы вектора X относительно базисов V И U. Тогда по теореме 2 § 1

С = TtBT. (5)

По формулам преобразования координат X=TY. Тогда квадратичную форму F(X)=XtBX Можно записать в виде

F(X)= (TY)TB(TY) = Yt(TtBT)Y = YtСY = h(Y1, Y2,…, yn). (6)

Где Y = (Y1, Y2,…, Yn)T .

Можно рассмотреть любое линейное преобразование переменных Y1, Y2,…, Yn в X1, X2,…, Xn по формулам:

(7)

Которое можно сокращенно представить в виде

X=TY, (7)

Где X = (X1, X2,…, Xn)T, Y = (Y1, Y2,…, Yn)T.

По доказанному выше получаем теорему

Теорема 2. При линейном преобразовании переменных (7) квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn)=XtBX переходит в квадратичную форму H(Y1, Y2,…, Yn) = YtСY, где С = TtBT . 

Если det T = 0, то преобразование (7) называется Вырожденным. Если det T ≠ 0, то преобразование (7) называется Невырожденным. Для невырожденного преобразования неизвестных существует обратное преобразование переменных X1, X2,…, Xn В Y1, Y2,…, Yn по формуле:

Y =T -1 X. (8)

< Предыдущая		Следующая >