101. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, и их связь с корнями характеристического уравнения
Пусть A - линейный оператор в векторном пространстве V Над полем P.
Определение 1. Ненулевой вектор B называется собственным вектором Линейного оператора линейного оператора A, Если Ab = l B, l€ P. Число l называется Собственным числом или Собственным значением линейного оператора A.
Теорема 1. Число l€ P является Собственным значением линейного оператора A тогда и только тогда, когда L Корень характеристического многочлена линейного оператора A.
Собственные векторы линейного оператора A находятся из решения матричного уравнения
Где B -координатный столбец собственного вектора B.
6. Линейные операторы с простым спектром.
Определение 1. Пусть dim V = N. Если линейный оператор A Векторного пространства V имеет N попарно различных собственных значений, то он называется Линейным оператором с простым спектром.
Теорема 1. Линейный оператор A N - мерного векторного пространства является линейным оператором с простым спектром тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение линейного оператора имеет N попарно различных корней, принадлежащих полю P.
Теорема 2. Линейный оператор A имеет в базисе V1, V2, ..., VN диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все вектора базиса являются собственными векторами линейного оператора A.
Доказательство. Необходимость. Пусть линейный оператор A Имеет в базисе V1, V2, ..., VN диагональную матрицу
. (1)
Тогда по определению матрицы линейного оператора имеем
Av1 = L1V1 + 0×V2 + ... + 0×VN = L1V1, Av2 = 0×V1 + L2V2 + ... + 0×VN = L2V2, …, AvN = 0×V1 + 0×V2 + ... + LNVN = LNVN,
И тогда по определению вектора V1, V2, ..., VN являются собственными векторами линейного оператора A.
Достаточность. Пусть вектора базиса V1, V2, ..., VN являются собственными векторами линейного оператора A, принадлежащими к собственным значениям L1, L2, ..., LN. Тогда для них выполняются равенства (1) и матрица линейного оператора A в этом базисе диагональная.
Теорема 3. Если вектора B1, B2, ..., BK принадлежат к попарно различным собственным значениям линейного оператора A, то они образуют линейно независимую систему.
Доказательство. Доказательство теоремы проводим методом математической индукции по K . При K = 1 утверждение теоремы справедливо, так как собственный вектор B1 ≠ 0 и образует линейно независимую систему.
Предположим, что утверждение теоремы верно для K - 1 векторов и докажем его для K векторов. По условию
ABI = LIBI; I = 1, 2, ..., K, (2)
Где LI ≠ LJ ; I, j = 1, 2, ..., K, I ≠ j. Пусть выполняется равенство:
A1B1 + A2B2 + ...+ AKBK = 0, (3)
Где A1, A2, ..., AK € Р. Покажем, что все A1, A2, ..., AK равны нулю. Действительно, если AK = 0, то из (9) имеем A1B1 + A2B2 + ...+ AK-1 BK-1 = 0 И в силу линейной независимости векторов B1, B2, ..., BK-1(индуктивное предположение) все числа A1, A2, ..., AK-1 равны нулю. Пусть AK ≠ 0. Применяем к обеим частям равенства (3) линейный оператор A, используя свойства линейного оператора и равенства (2) получаем:
A1Ab1 + A2Ab2 + ...+ AK AbK = 0, L1A1B1 + L2A2B2 + ...+ LKAKBK = 0.
Умножая равенство (3) на LK и вычитая почленно из последнего равенства, находим:
A1(L1-LK)B1 + A2(L2-LK)B2 + ...+ AK-1(LK-1-LK)BK-1 = 0.
Так как система векторов B1, B2, ..., BK-1 линейно независима, то все числа AI(LI-LK), I = 1,2, ...,K-1, равны нулю. Так как по условию LI ≠LK, то LI -LK≠0 и AI = 0, I = 1,2, ...,K-1, Тогда из (3) имеем AKBK = 0, AK = 0 и получаем противоречие.
Теорема 4. Линейный оператор A с простым спектром имеет в некотором базисе диагональную матрицу.
Доказательство. Пусть A - Линейный оператор с простым спектром, т. е. он имеет N попарно различных характеристических корней, где N= Dim V . По теореме 2 A Имеет N попарно различных собственных значений L1, L2, ..., LN , к которым принадлежат собственные вектора B1, B2, ..., BN . По теореме 3 система векторов B1, B2, ..., BN линейно независима, и образует базис V . Тогда по теореме 2 матрица линейного оператора A в этом базисе диагональная. Теорема доказана.
Следствие. Любая матрица А порядка n с элементами из поля Р, характеристический многочлен которой имеет n Попарно различных корней из Р, подобна диагональной матрице.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
