10. Вычисление определителей

Определители 2-го и 3-го порядков можно вычислять по правилу Сарюса. Вычисление определителей порядка большего трем сводится к вычислению определителей меньших порядков разложением определителя по строке или по столбцу. Обычно разлагают по тем строкам (столбцам), в которых имеется много нулей. Для получения нулей используются свойства определителей в частности свойство 8.

Пример 8. Вычислить определитель

.

При переходе от первого определителя к второму прибавили к 1-й и к 3-й строкам 2-ю, умноженную на -2, к 4-й - 2-ю, умноженную на -3. Затем разложили определитель по первому столбцу. При переходе от третьего определителя к четвертому прибавили к 2-й строке 1-ю, умноженную на -1, к 3-й - 1-ю, умноженную на -3. Затем разложили определитель по третьему столбцу.

Определители некоторых матриц можно вычислить в общем случае. Например, определители треугольных матриц.

Определение 13. Треугольными матрицами разываются матрицы, у которых все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, т. о. треугольными матрицами являются следующие матрицы:

.

Теорема 9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т. е. .

Доказательство. Доказываем методом математической индукции по N. При N=1,2 утверждение теоремы справедливо. Предположим, что теорема справедлива для N-1 и докажем ее для N. Разлагая По первому столбцу, получим:

.

Последний определитель по индуктивному предположению равен . Поэтому . Аналогично доказывается и второе равенство. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >