03. Ступенчатая матрица

Определение 6. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица

Содержащая Mn чисел, расположенных в M строк и n столбцов, числа называются Элементами матрицы. Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка M . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется Нулевой матрицей. Элементы AIi называются элементами Главной диагонали.

Определение 7. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:

1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;

2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.

Матрицу ступенчатого вида называют также Трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют Треугольной матрицей. Ниже показаны две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).

, , , , .

Определение 8. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие ее преобразования:

1) перестановка любых двух строк матрицы местами;

2) умножение одной строки матрицы на любое число ;

3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k ;

(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).

Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема 2. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу M строк матрицы. Для m=1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для матриц, имеющих M-1 строку и докажем его для матриц, в которых содержится M строк. Пусть первый слева отличный от нуля столбец данной матрицы имеет номер K , так как матрица ненулевая, то такой столбец найдется, и матрица имеет вид:

.

Можем считать, что элемент , в противном случае строки матрицы можно переставить. Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на число , к третьей - первую, умноженную на и т. д. , к M-й - первую, умноженную на . После этих преобразований матрица примет вид:

. (9)

Рассмотрим матрицу, состоящую из последних M-1 строк матрицы (9):

. 10)

Если матрица (10) нулевая, то все строки в матрице (9) кроме первой нулевые. Вычеркивая их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (10) ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида: ,

Где элементы и не равны нулю. Тогда соответствующими преобразованиями строк матрица (9) преобразуется в матрицу ступенчатого вида:

; (11)

Элементы , ,..., не равны нулю. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >