logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике А. З. Рывкин и Е. С. Куницкая Задачник-практикум по математическому анализу 5.2. Вычисление координат центра тяжести плоских кривых и плоских тел. Теоремы Гюльдена

5.2. Вычисление координат центра тяжести плоских кривых и плоских тел. Теоремы Гюльдена

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтен-гольца главу XII, п° 206, 207. При решении задач рекомендуется помнить, что если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести кривой лежит на этой прямой.

592. Найти центр тяжести дуги цепной линии:

содержащейся между точками, для которых х = — а х = а.

Решение. Так как рассматриваемая дуга расположена симметрично относительно оси Oyt то центр тяжести дуги лежит на оси Oy и, следовательно,Найдем ординату, пользуясь формулой

Так как

и, следовательно,


593. Найти центр тяжести одной арки циклоиды:

Решение. Так как арка циклоиды расположена симметрично относительно прямой х = па, то центр тяжести дуги циклоиды лежит на этой прямой и, следовательно,

Ордината центра тяжести будет: ? ( ~ е [а I а

Ц - - Ie _L_£

1 a(e*~-\)Ja 2 \ f



I = Jt а.

Найдем ординату центра тяжести по формуле:

Длина дуги одной арки циклоиды равна 8а (см. задачу

Найдем ординату центра тяжести:

594. Найти центр тяжести дуги кривой»

содержащейся между точками, для которых Решение. Найдем

(см. задачу 491).

Найдем абсциссу центра тяжести:

3 + 2 In 2

4

Найдем ординату центра тяжести:

2

595. Найти центр тяжести однородной треугольной пластинки.

ч

3 (3 + 2 In 2)

Решение. Разбиваем данную пластинку прямыми, параллельными одной из сторон, на бесконечно тонкие полоски. Центр тяжести каждой полоски находится в ее середине и лежит, таким образом, на медиане, а следовательно, и центр тяжести всей треугольной пластинки лежит на этой медиане. Так как это рассуждение применимо к любой стороне, то центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан.

Тот же результат получаем вычислением. Площадь полоски, отстоящей на расстояние х от данной стороны

Ь, равна dS = —(h—х) А я, где А —высота, опущенная h

на эту сторону, а Дл; — ширина полоски, следовательно, расстояние центра тяжести от этой стороны равно: н н

I*= — [ xdS — Г— (h—х) xdx =

SJ bh J h 9

A1 \ 2 3 J I о 3 Таким образом, центр тяжести треугольника находится на расстоянии, равном — высоты от соответствующей

З

стороны, т. е. в точке пересечения его медиан, ибо это— е&инственная точка, обладающая таким свойством.

596. Найти центр тяжести площади, ограниченной осью Ox и одной полуволной синусоиды

Решение. Так как площадь одной полуволны синусоиды расположена симметрично относительно прямой

, то центр тяжести лежит на этой прямой и, сле


довательно, . Ордината центра тяжести находится

по формуле

Так как

то

Итак, центр тяжести данной площади находится в точке

597. Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной параболами

Решение. Данные параболы, пересекающиеся в точках О (0, 0) и А (а; а), ограничивают площадь, расположенную симметрично относительно биссектрисы Следовательно, центр тяжести данной площади лежит на биссектрисе, а отсюда

Так как площадь ограничена двумя кривыми


и, то абсцисса центра тяжести площади на-

ходится по формуле:



найдем:

точке

598. Найти центр тяжести площади, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

Таким образом, центр тяжести площади находится в


Решение. Данная площадь расположена симметрично относительно прямой, следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой и отсюда

Найдем ц по формуле. Площадь S данной

фигуры была вычислена (см.Задачу 467):Сле

довательно,

Центр тяжести данной площади находится в точке

599. Пользуясь теоремой Гюльдена, вычислить поверхность тора, образованного вращением круга радиуса а вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстояние

Решение. Так как длина данной окружности равна , а длинаокружности, описанной центром тяжести ее, равна, то поверхность тора по первой теореме Гюльдена равна:

600. Пользуясь теоремой Гюльдена, вычислить объем и боковую поверхность прямого кругового конуса.

Решение. Боковая поверхность конуса с высотой, образующейИ радиусом основанияПолучается при вращении гипотенузы длинойВокруг катета длиной. Центр тяжести гипотенузы находится на ее середине и

удален от оси вращения на. Поэтому по первой теореме Гюльдена боковая поверхность равна:

Площадь треугольника равна, центр тяжести его, находясь на пересечении медиан, отстоит от катета А на расстояние, равноеВысоты, опущенной на этот катет, т. е., следовательно, по второй теореме Гюльдена объем конуса равен:

601. На цилиндре, имеющем 6 см в диаметре, кругом вдоль поверхности вырезан канал, имеющий поперечным сечением равносторонний треугольник со стороной в 0,5 сж. Вычислить объем срезанного материала.

Решение. Искомый объем есть объем тела, получаемого при вращении равностороннего треугольника со стороной в 0,5 см вокруг оси, параллельной основанию и удаленной от него на 3 ел, причем вершина лежит между основанием и осью (рис. 26).

Высота треугольника равна

площадь его равна

Расстояние центра тяжести от оси ОС = OA — AC =

(AC равно

высоты). По второй теореме Гюльдена имеем:

602. Длина одной арки циклоиды

РавнаА поверхность, образуемая вращением ее вокруг оси Oxt равна. Вычислить поверхность, образуемую вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке.

Решение. Пусть— расстояние центра тяжести от оси Oxi тогда по первой теореме Гюльдена:

, откуда

Наибольшая ордината кривой соответствуетИ рав

на 2а, причем касательная в этой точке параллельна оси Ох\ следовательно, расстояние центра тяжести от этой

касательной равно

Таким образом, искомая поверхность, образуемая' вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке равна:

603. Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиусаРасположенной в первом квадранте.

604. Найти центр тяжести расположенной в первом квандранте дуги гипоциклоиды x = acosst, у = a sin31.

605. Найти центр тяжести половины площади эллипса, опирающейся на большую ось.

606. Найти центр тяжести площади, заключенной

- L - L. L между параболой х2 - J - у2 = а 2 и осями координат.

607. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой at/2 = Jc3 и прямой х = а {а > 0).


608. Найти центр тяжести площади, ограниченной кривыми

у = ах3, х = а, у = 0.

609. Найти центр тяжести площади, ограниченной эллипсом jc2 -)- 4у2 = 4 и окружностью х2-\- у2 = 4 и расположенной в первом квадранте.


610. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной замкнутой кривой у2 = ах3 — х*.

 
Яндекс.Метрика
Наверх