logo

Решение контрольных по математике!!!

4.3. Объем тела произвольной формы

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтен-гольца главу XII, п°п° 197, 198.

В теоретическом курсе показано, что объем тела, содержащегося между плоскостями х = а и х = Ь, выражается формулой:

где S (х) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс в точке х

503. Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара х2 + у2 -)- Z2 = 9 плоскостями х — I и х = 2.

Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке Xt пересечет шар по окружности радиуса г = |/ 9 — лг. Площадь сечения S (х) = пг2 = я (9 — х2) и, следовательно,





2 2

,а)

стями Z = о И 2=1.

Решение. Обозначим через Q (z) площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Oz. В сечении получим эллипс:

у2 </2 у2

Л. - L JL_ = I C2 Г 62 ' C2


~2 «.2 +

или


Так как полуоси этого эллипса равны а i/i+

(*/?+£/



6 у i_|_ , а, как известно, площадь эллипса равна nab,

( Z2 \

то, следовательно, Q (г) =я ab / I -\--- I. Таким образом,

I I


V = jnab 11 -?j^dz=nab • Z3J =

^nab (1+~Ь~)-

505. От прямого кругового цилиндра радиуса а отсечен клин плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основанию под углом а (рис. 17). Найти объем клина.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось цилиндра совпала с аппликатой (см. рис. 17). Разобьем Клин на слои плоскссгями, перпендикулярными к оси Ох.

504. Вычислить объем тела, ограниченного однополо-

X2 U2 Z2

стным гиперболоидом--1- —---= I и плоско-

а2 Ь2 с2

Тогда в сечении клина плоскостью, отстоящей на расстояние х от начала координат, получим прямоугольный треугогьник MPBi укоторого катет катетОтсюда

И

508. Вычислить путем интегрирования объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой H.

507. Определить объем тела, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диамэтр основания. Радиус основания равен Rf высота тела равна Я.

 
Яндекс.Метрика
Наверх