logo

Решение контрольных по математике!!!

4.2. Длина дуги плоской кривой

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтен-гольца главу XII, п° п° 199,201, 202. Разберите подробно примеры, решенные в п° 201.

I. Уравнение кривой задано в декартовой системе координат. В теоретическом курсе доказывается, что длина дуги плоской кривой у = f (х) может быть вычислена при помощи определенного интеграла:

ь

I= J у I + у'Ых

а

ИЛИ

d

I= j V I - f - х'2 dy,

с

где а и b — абсциссы, а с и d — ординаты точек концов данной дуги.

483. Вычислить длину дуги параболы у2 = 4х от точки х = 0 до х = I.

Решение. Для вычисления длины данной дуги воспользуемся второй из данных формул. Заметим, что при х = 0 будет у = 0, а при х = I будет у = + 2.

Из уравнения параболы находим, следователь

но,, отсюда

484. Вычислить длину дуги кривей у=\—In cosх от точки M (О, I) до точки N \ 2 J.

Решение. Для вычисления длины дуги воспользуемся первой из данных формул, тогда у = I — Incosx, , следовательно,

до точки В


485. Вычислить длину дуги цепной линии

от точки А

488. Найти длину дуги OA параболы, где

0(0; 0), А (2; 4). Вычисление провести двумя способами.

487. Спрямить кривую

488. Вычислить длину дуги кривой заключенной внутри параболы

489. Найти длину дуги астроиды

490. Найти длину дуги полукубической параболы

Между точками х = 0 и х = 2а.

491. Найти длину дуги кривойIn у от точки у = I до точки у = 2.

492. Найти длину дуги кривойОт х = а

До х = 6.

2. Кривые заданы параметрическими уравнениями или в полярной системе координат. Как известно из теоретического курса, длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениямиГде функции иНепрерывны вместесо своими производными

ИНаВычисляется по формуле:

493. Вычислить длину одной арки циклоиды: Решение. Найдем производные по аргументу t:

Следовательно,

. Так как параметр t изменяйся от 0 до 2я

и в этом промежутке функцииНе*

прерывны, то, сл чьвательно,

494. Вычислить длину дуги кривой

Решение. Вычислим производные по аргументу t:

В промежуткеЭти функции непрерывны (как сум

мы произведений непрерывных функций).

Вычислим сумму:

495. Найти длину петли кривей: X=I21 y~t--- /3.

3

x'z y>2 _ eit J(sjn I _j_ cos IY _|_ (cos I _ sin f)2j _ 2^2

следовательно,


Решение. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох:

;___L/3 = 0; ti = Qi t2 = VT.

3

Так как данная кривая расположена симметрично относительно оси Ox1 что видно из уравнений кривой, то

VT VH

I = 2 j V(It)2 - j— (I — t2)2 dt = 2 j (I - f t2) dt =

о о

VH










0 < ф < Зя. Найдем р'=а sin2 — • cos —. Вычислим

3 3

Рекомендуется подробнее исследовать данную функцию и построить ее график.

Из теоретического курса известно, что длина дуги кривой р=/(ф), заданной в полярной системе координат, где функции р=/ (ф) и р' = [/(ф)]' непрерывны на ф2 < ф <ф2, вычисляется по формуле:

Р _

1 = J ]/У2 + P2 dtp.

<Р I

496. Найти длину кривой: р = a sin3 —.

3

Решение. Найдем пределы интегрирования. Когда п 3

угол ф изменяется от 0 до —я, полярный радиус р воз-

З

растает от 0 до а. Затем при изменении угла ф от — 7г

до Зл величина р убывает от а до 0. Таким образом, 0 < ф <

сумму:

Длина дуги данной кривой равна:

497. Вычислить длину кардиоиды:

Решение. Так как данная функция—четная, то, следовательно, кривая расположена симметрично относительно Полярной оси. Поэтому достаточно найти половину длины д<уги кардиоиды, для которой полярный угол ф изменяется от 0 до я, и удвоить полученный результат:

498. Вычислить длину дуги астроиды:

499. Вычислить длину дуги эволюты круга: отДо

500. Вычислить длину одного витка спирали Архимеда:

501. Вычислить длину окружности:

502. Найти длину дуги гиперболической спирали от точкиДо точки

 
Яндекс.Метрика
Наверх