logo

Решение контрольных по математике!!!

3.3. Замена переменной. Интегрирование но частям

I. Замена переменной в определенном интеграле.

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенголь-ца главу XI, п° 186. Разберите примеры, решенные в этом пункте. Обратите особое внимание на выполнимость условий, при которых становится возможной замена переменной.

В теоретическом курсе доказывается, что определен-

рый интеграл при выполнении ряда условий мо-

экет быть заменен другим определенным интегралом

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости затем возпращаться к стар эй переменной (как мы это делали при вычислении неопределенного интеграла).


При этом используется замена переменной


Решение. Введем новую переменную t, положив Покажем, что функцияУдовлетворяет всем условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле. В самом деле,

I) функция, w______ определена и непрерывна

для всех значений t и, в частности, на некотором промежутке

, и ее значения не выходят за пределы промежутка, когда t изменяется в

2)

3) существует вНепрерывная производная

Итак, указанная замена переменной законна. Тогда

для

Так как-, то, заменяя переменную в

определенном интеграле и учитывая четность подынтегральной функции, получим:

Указание. Для отыскания пределов интегрирования новой переменной t используйте равенствоНижний предел а найдется, если вместо х подставить значение нижнего (старого) предела:

Верхний предел р найдется, если вместо х подставить значение верхнего (старого) предела:

389. Вычислить интеграл:

Решение. Введем новую переменную t, связанную со старой переменной х соотношением Покажем, что такая замена переменной законна.

Действительно: I) функцияОпределена и

непрерывна на отрезке(так как она определена

и непрерывна на всей числовой поямой). и ее значения не выходят за пределы промежуткаКогда t изменя

ется в

3) существует вНепрерывная производная

Итак, вводим новую переменную t, полагая Тогда

Так какТо, заменяя переменную в опре-

390. Вычислить интеграл: ;.

Решение. Введем новую переменную t, положив х = te. (Почему возможна такая замена?) Тогда dx = = 6 tbdt. Найдем пределы интегрирования для новой переменной t:

Заменяя переменную в определенном интеграле, получим

Применяя соответствующую замену переменной, вычислить интегралы:

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Рассмотрите внимательно решение примеров, помещенных в п° 187. Обратите особое внимание на выполнение необходимых условий, при которых операция интегрирования по частям будет законна.

402. Вычислить интеграл:

Решение. ОбозначимЧерез и, аЧерез,

120

Эта операция является законной, так как в промежутке [I, 2] функции и и V являются непрерывными функциями и имеют непрерывные производные

В теоретическом курсе было показано, что при выполнении этих условий

Следовательно,

Интеграл снова берем по частям, полагая

(Мы пропускаем доказательство законности данной операции, так как оно аналогично доказательству, приведенному ранее.)

Получим:

Окончательно получим:

403. Вычислить интеграл

Решение. Обозначим х через и иЧерез dv,

Легко показать, что данная операция является законной: функции—функции непрерывные и име

ют в каждой точке промежутка [О, I] непрерывные производные. Следовательно,

Используя метод интегрирования по частям, вычислить следующие интегралы:


Метод интегрировайия по частям в определенном интеграле часто используется для получения удобных рекуррентных формул, позволяющих сводить данный интеграл к интегралу такого же типа, но более простому.

414. Вычислить интеграл:

Применяя метод интегрирования пр частям* положим:

Итак,

Выполняя простые тригонометрические преобразования^ получим:

или

гдеОбозначает

Мы получили уравнение относительно /„, решая которое получим рекуррентную формулу для вычисления In:

(Сравни с формулой (19) на стр. 86). Применяя аналогичные преобразования, получим:

или

И т. д.

Продолжая указанный процесс, мы дойдем или до значения /0, или до значения I1 в зависимости от того, будет ли п четным или нечетным числом.

Рассмотрим два случая:

I)(«—четное число). В этом случае

2) (п — нечетное число). В этом случае

Ho так как

то

416. Составить рекуррентную формулу для вычисления

417. Доказать равенство:

интеграла Провести исследование.


(т — целое положительное число).

418. Вычислить, используя результат примера 414:

419. Вычислить, используя результат примера 415:

 
Яндекс.Метрика
Наверх