2.2.3. Производные высших порядков

Определение. Производной второго порядка (или второй производной) от функции y = f(x) называется производная от ее производной, т. е. y" = (y')'.

Обозначается вторая производная так:

Если s = f (t) — закон прямолинейного движения точки, то

есть ускорение этого движения. Аналогично, производная третьего порядка функции y = f(x) есть производная от производной второго порядка y'" = (y")'.

Вообще, производной n-го порядка от функции y = f (x) называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

Для n-ой производной употребляются обозначения:

Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 2.19. y = (arc tg x). Найти у".

Находим первую производную:

Вторая производная, по определению, равна производной от первой производной, следовательно:

Пример 2.20. Найти y ' "(3), если / (х) = (2х - 3)5.

Находим последовательно первую, вторую и третью производные:

Подставляя в третью производную значение х = 3, получим:

Пример 2.21. Найти y' '' ' от функции y = sin2x

Находим последовательно первую, вторую, третью и четвертую производные:

Пример 2.22. Показать, что функция y = е2х • sin5x удовлетворяет дифференциальному уравнению:

Найдем первую и вторую производные от функции y = е2х • $ш5х:

Подставим найденные выражения для y и y в данное уравнение и получим тождество:

< Предыдущая		Следующая >