2.1.1. Свойства непрерывных функций

1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен 0.

3. Если и = <р(х) непрерывна в точке х = х0 и /(и) непрерывна в точке и = и0 = /(х0), то сложная функция /(ф(х)) непрерывна в точке х0.

4. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

При x ф 2 функции, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны, и знаменатель не обращается в 0. Поэтому при х ф 2 функцияНепрерывна. Исследуем точку х = 2. Найдем

Так какИ, следовательно,То

. Далее, так какИ, следователь

но,То преобразуем дробь

Таким образом,И, значит,

в точке х = 2 функция терпит разрыв 1-го рода. Скачок функции f(2 + 0) - f(2 - 0) = 1 - (-1) = 2.

Пример 2.9. Найти точки разрыва функции.

Очевидно, функция непрерывна при х ф 2 и х ф 5. Найдем пределы в указанных точках:

Следовательно, х = 2 — точка разрыва 2-го рода. Следовательно, х = 5 — точка разрыва 2-го рода.

Поскольку созх, х + 1, х непрерывны всюду и, в частности на указанных интервалах, то функция /(х) непрерывна на интервалах (-—, 0), (0,1), (1, +—). Точками разрыва могут являться только точки х = 0 и х = 1. Исследуем эти точки на непрерывность:

/(0) = cos0 = 1.

Таким образом,Следовательно,

х = 0 — точка непрерывности функции /(х).

то есть, следовательно, х = 1 — точка раз

рыва 1-го рода. График функции

имеет вид (рис. 21).

< Предыдущая		Следующая >