5.2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член ап при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

lim an - 0 - это необходимый признак сходимости ряда.

Если же lim an ф 0, то ряд расходится - это достаточный при-

знак расходимости ряда.

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогрессия

которая сходится при | q | < 1 и расходится при | q | > 1, и гармонический ряд

являющийся расходящимся рядом.

2. Признак Даламбера. Если для ряда (1)

то при I < 1 ряд сходится, при I > 1 - расходится (при I = 1 вопрос

о сходимости ряда остается нерешенным).

Пример 5.3. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд

расходится.

lim an = lim ——— = 1.

— —¥ n——¥ n +1

Таким образом, предел общего члена ряда при n — да отличен от нуля, т. е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.

Пример 5.4. Исследовать на сходимость ряд

111 1

--+--2 +--3 + ••• +---+ ••• •

5 • 2 5 • 2 5 • 2 5 • 2n

Решение. Сравним данный ряд с рядом

1 1 1 1

— +—2 +—3 + ••• +---+ ••• • (*)

2 22 23 2n

Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1 • При этом 1

каждый член an =- данного ряда меньше соответствующего

5 • 2

члена bn = -1 ряда (*)• Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится •

Пример 5.5. Исследовать на сходимость ряд

1 1 1 1 +—j= +—т= + ••• +—т= + ••• •

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом

1 1 1

1 + —+ —+ ••• ^ —+ ••• •

Каждый член an = —^ данного ряда, начиная со второго, боль-

ше соответствующего члена bn =— гармонического ряда. Так как

гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Решение. Каждый член ряда

(*)

меньше соответствующего члена ряда

Как было показано в задаче 5.2, последний ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного ряда, отличающегося от ряда (*) наличием первого члена 1, теперь очевидна.

Пример 5.7. С помощью признака Даламбера решить вопрос

о сходимости ряда