Вариант № 11

Задача 1(см. рис. 1)

1) 2)

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Угол между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим

;

Рассм. ;

;

; .

Задача 4

Рассм. векторы ;;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Определить, при каком векторы будут взаимно перпендикулярными.

; рассм. .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ; Направл. косинусы вектора :

; ; .

Задача 7

Рассм. векторы ;

, след. , - параллелограмм (так как у него противоположные стороны

параллельны и равны); рассм. вектор ; ;

Вычислим ;

Задача 8

Рассм. векторы и рассм. смешанное произведение , след. векторы

не компланарны и след. точки не лежат в одной плоскости.

Задача 9

Рассмотрим один из направляющих векторов медианы

; рассм. И рассм. один из направляющих векторов высоты : (т. к. );

Определим угол между векторами из равенства: ;

Вычислим

; искомый острый угол между прямыми Равен .

Задача 10

Пусть - вершина ромба, лежащая на пересечении прямых ;

;

Возможны два положения противоположной вершины ромба: (так как длина диагонали равна 12);

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, след., возможные положения центра симметрии ромба суть (середина отрезка ) и (середина отрезка ), а диагонали перпендикулярны прямой , т. е. параллельны оси ; уравнения диагоналей

Координаты вершин определим как координаты точек пересечения прямой с диагоналями :

; ;

Координаты вершин определим из условия, что т. - середина отрезка , а т. - середина отрезка :

;

Площади ромбов равны:

; ; Задача имеет два решения.

Задача 11

Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 12

Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Найти проекцию точки на прямую , заданную как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой :

;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно

вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Рассм. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно прямой :

;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

Т. е.

Найдём теперь искомую проекцию точки на прямую как точку пересечения плоскости и прямой :

;

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 2-му столбцу:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

, след. матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

;

, ,; реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим

Рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : ;

3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение; получим решение данной системы, приведя её расширенную матрицу к диагональному виду: