Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Вариант № 16

PDF Печать E-mail

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Поэтому . Но гармонический ряд расходится, следовательно, расходится и исследуемый ряд по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд расходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Так как , то . Но ряд , поскольку сходится любой ряд вида , . Следовательно, по первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд, причём сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Последний предел равен 1, т. е. отношению коэффициентов при старшей степени аргумента. Ряд сходится, если предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (степень знаменателя больше единицы). Действительно, . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к этому ряду: (последний предел равен 1, т. е. отношению коэффициентов при старшей степени аргумента). Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При и Получим один и тот же числовой ряд , Этот ряд расходится, так как (здесь использована эквивалентность ). Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости. поэтому расходится и ряд . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (последний сходится, так как степень в знаменателе больше единицы. Ответ: Областью сходимости ряда является множество , где .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Функция представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , при условии , - знаменатель прогрессии. Преобразуем данную функцию: . Положим . Получим: . Этот ряд будет бесконечно убывающей прогрессией, если только , или . Очевидно, что на концах этого интервала ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда будет область . Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим здесь . Получим . Тогда . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять два первых слагаемых: . Ответ: .

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как и , то

. Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через . Преобразуем ряд: . Так как и , то .

Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обе суммы, выделяя «лишнее» слагаемое: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Кроме того, в соответствии с начальными условиями Следовательно, . Очевидно, что и Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: , вторую сумму – в виде . Тогда . Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . В соответствии с начальными условиями и . Тогда . Таким образом, .

Ответ: .

18. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Следовательно, , если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда для нечётных получим Таким образом, . Ответ: .

19. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция нечётная, то все , . Таким образом,

. Ответ: .

21. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, . Ответ: .

22. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где . Функция является чётной, поэтому и , найдём : . Таким образом, .

Ответ: .

23. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где . Вычислим : . Таким образом, . Ответ:

 
Яндекс.Метрика
Наверх