Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Вариант № 06

PDF Печать E-mail

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Разделяем переменные:

. Интегрируем уравнение: . Получим:

. Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: или . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=−4. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и или . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Следовательно, или . Общие решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1= -2. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные: , . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что

и . Проинтегрируем первое уравнение по X:

. Таким образом, , где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная X. Сделаем замену . Тогда . Получим однородное уравнение первого порядка: или . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Следовательно, и . Из начальных условий следует, что и при . Подставляя это в полученное равенство, находим . Тогда Следовательно,

. Подставляя сюда начальное условие , находим . Окончательно, или . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: или . Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2: получим: . Подставляя это в первое уравнение, получим: . Интегрируя, получаем:

. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, .

Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение шестого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет шесть корней: . Получаем шесть частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид:

. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х2 обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Частное решение уравнения будет . Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: . Решая систему, находим: . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Система имеет решение когда . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . По правилу Крамера . Удобно положить . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Исключим С1, складывая первое уравнение со вторым. Получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: .

Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(2; 5) и обладающей свойством, что отрезок любой её касательной, заключённой между осями координат, делится пополам в точке касания.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдём точки пересечения касательной с осями координат. Положим Y=0. Тогда или . Точка М1 является точкой пересечения оси ОХ. Положим X=0. Тогда или . Точка М2 является точкой пересечения оси ОУ. По условию задачи , т. е. . Или . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: , или , или . Разрешим уравнение относительно :

. Получаем два уравнения: и . Второе уравнение не имеет действительных решений. Рассмотрим первое: . Разделяем переменные: . Интегрируем: или . Решение отбросим, так как это прямая линия. Найдём C в решении , учитывая, что кривая проходит через точку М(2, 5): . Таким образом, . Ответ: .

12. Банк выплачивает 3% годовых, причём начисление производится непрерывно (в каждый момент). Определите, через сколько лет сумма в 100 руб., помещённая в банк, удвоится.

Пусть сумма вклада в момент времени T. Тогда, по условию задачи, - скорость увеличения суммы вклада. Или . Определим произвольную постоянную, исходя из начальных условий: . Следовательно, . Положим и из этого равенства T: или .

 
Яндекс.Метрика
Наверх