Вариант № 03

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Запишем уравнение в дифференциалах: . Разделяем переменные:

. Интегрируем уравнение: . Получим:

или . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: . Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ:

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: или . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение:. Следовательно, . Общие решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=2. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. . Объединим слагаемые, содержащие одинаковые дифференциалы переменных:

Тогда

,

. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что

и . Проинтегрируем второе уравнение по Y:

. Таким образом, , где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны

. С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае Ответ:

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим линейное уравнение первого порядка: . Решим его методом Бернулли: . Функцию U найдём из уравнения . Или . Функцию V найдём из уравнения . Подставляя сюда функцию U, получим: . Таким образом, . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: или . Вычтем из второго уравнения первое: получим: . Подставляя это в первое уравнение, получим: . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3-1 и С2 =С4. Окончательно, .

Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное

решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R1=−1 имеет кратность 1. Значение этого корня совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=−1). Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему , находим: . Частное решение уравнения будет . Или .

Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные yчн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, находим . Или. Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Вычитая третье уравнение из второго, получим: . Отсюда следует: . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей свойством, что касательная к ней в точке с координатами проходит через точку с координатами .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид или. Эта же касательная должна проходить и через точку . Следовательно, . Вычитая из второго уравнения первое, получим: . Это условие должно выполняться для любой точки линии. Поэтому сделаем замену . Получим уравнение: . Разделяем переменные и интегрируем: . Точка М находится на этой прямой, следовательно, . Таким образом, или . Ответ: .

12. Пуля входит в доску со скоростью и пробивает её через время вылетая со скоростью . Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения пули, найдите толщину доски.

Обозначим через Скорость пули в момент времени T. По условию задачи изменение скорости пули происходит по закону , где K – неизвестный коэффициент пропорциональности, а знак минус указывает на то, что скорость уменьшается. Тогда . Из начального условия определяем произвольную постоянную: . Тогда . Найдём коэффициент пропорциональности K. Через время T скорость пули стала равной U0, т. е. . Отсюда находим . Подставляя коэффициент в формулу для скорости, получим: . Пусть - путь, пройденный пулей к моменту времени T. Тогда . Найдём толщину доски: . Подставляя сюда все исходные данные, получим: .

Ответ: .

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!